Esercizio sull'olomorfia coseno iperbolico

[Blitz87]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in quest'esercizio sulla valutazione dell'olomorfia di:

$ |i*cosh(z)| $

riporto, quindi, lo svolgimento che ho seguito:

in primis ho riscritto la funzione come $|i*(cos(y)cosh(x)+isinh(x)sin(y))|$ ponendo quindi in evidenza parte reale ed immaginaria della stessa per verificare più agevolmente le condizioni di Cauchy-Riemann...svolgendo le moltiplicazioni...

$ |icos(y)cosh(x)-sinh(x)sin(y)|$

a questo punto ho applicato la definizione del modulo come $sqrt [(Re)^2+(Im)^2]$

qui ho concluso che la funzione data non è olomorfa in quanto considerate le condizioni di Cauchy-Riemann mi troverei sempre le derivate parziali della parte immaginaria pari a zero e quindi non uguali a quelle della parte reale...

il mio svolgimento è corretto?

ho notato, inoltre, che spesso il modulo "rende" le funzioni non olomorfe: è valida questa deduzione?

Grazie in anticipo...

[anonymous_0b37e9]

Prima di affrontare il problema per altra via, visto che $e^z$ è sicuramente olomorfa, non si comprende perché non dovrebbe esserlo $i/2(e^z+e^(-z))$.

[Blitz87]

In realtà mediante le condizioni di Cauchy-Riemann riesco agevolmente a valutare che $icosh(z)$ è olomorfa...

la formula per il coseno iperbolico che mi proponevi è quella da cui sono partito per considerare il $cosh(z)=cos(y)cosh(x)+isinh(x)sin(y)$ esplicitandone quindi in maniera più chiara parte reale ed immaginaria...ad ogni modo però mi resta il "problema" del modulo e le valutazioni che ho tratto a riguardo

[anonymous_0b37e9]

Pensavo dovessi dimostrare che:

$i/2(e^z+e^(-z))$

è olomorfa, non:

$|i/2(e^z+e^(-z))|$

Ad ogni modo, esiste il seguente teorema:

facilmente dimostrabile utilizzando proprio le condizioni di Cauchy–Riemann.

[Blitz87]

Interessante

a questo punto il modulo mi impone, quindi, che $v(x,y)$ sarà identicamente nullo e di conseguenza le condizioni di Cauchy-Riemann non potranno verificarsi poichè svolgendo le relative derivate parziali non avrò:

$u_x=v_y$
$u_y=-v_x$

ergo funzione complessa non olomorfa...

corretto il ragionamento?

[anonymous_0b37e9]

... corretto il ragionamento ...

Non mi pare. Riepilogando:

Ipotesi 1

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ olomorfa su una regione $\Omega$

Ipotesi 2

$v(x,y)=0$

Tesi

$u(x,y)=C$

Dimostrazione

$[(delu)/(delx)=(delv)/(dely)=0] ^^ [(delu)/(dely)=-(delv)/(delx)=0] rarr [u(x,y)=C]$

Tuttavia, per dimostrare che:

$f(z)=|i/2(e^z+e^(-z))|$

non è olomorfa, si deve considerare il teorema inverso:

Ipotesi

$u(x,y) ne C$

Tesi

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ non è olomorfa su una regione $\Omega$

oppure

$v(x,y) ne 0$

Poiché, nel caso in esame:

$f(z)=|i/2(e^z+e^(-z))|=u(x,y)+iv(x,y)$

si ha $[u(x,y) ne C]$ e $[v(x,y)=0]$, $f(z)$ non può essere olomorfa su una regione $\Omega$.

[Blitz87]

Concordo con il tuo ragionamento e ti ringrazio anche per il tempo che stai dedicando

quindi $|icosh(z)|$ non è olomorfa nonostante $icosh(z)$ lo è...

è possibile generalizzare questo concetto? In molti esercizi che ho svolto si verifica di sovente che la funzione complessa sotto modulo non è olomorfa (ad esempio $|z|$, $|z^2|$ o anche $sen(|z|)$)...

[killing_buddha]

Le funzioni \(|z|, |z|^2, \sin|z|\) hanno tutte valori reali, e per essere olomorfe (cioè per soddisfare le condizioni di Cauchy-Riemann) dovrebbero essere costanti. Non lo sono, palesemente.

[anonymous_0b37e9]

Le funzioni ...

Ottima sintesi.

[killing_buddha]

Beh, lo avevi detto tu, io l'ho solo sottolineato