Dimostrazione formula di Poisson

[ale.vh]

Buonasera a tutti,
Ho riscontrato delle difficoltà per quanto riguarda la dimostrazione della formula di Poisson.
Il problema è il seguente: data la velocità vettoriale con modulo costante si ha la seguente formula $ vec(v)=R d hat(r)/(dt) $ il problema ristagna ovviamente nello studio della derivata del versore.
Il testo lo risolve nella seguente maniera: si prende un determinato versore $ hat(u) (t) $ e lo si fa ruotare con un angolo infinitesimale $ dvarphi $ dove tale rotazione è descritta dalla seguente matrice: $ ( ( cos(dvarphi) , -sin(dvarphi) ),( sin(dvarphi) , cos(dvarphi) ) ) =( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) +dvarphi ( ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ) $ fino a qui è tutto ok da adesso in poi i vari passaggi che svolge li trovo difficili da comprendere : Si pensa adesso all'azione di ciascuna matrice sul versore, otteniamo che $ hat(u) (t+dt) $ si ottiene sommando a $ hat(u) (t) $ al valore ottenuto ruotando $ hat(u) (t) $ di $ pi/2 $ in verso antiorario e lo si moltiplica per $ dvarphi $ . Questa parte mi risulta del tutto ignara. Sareste così gentili da darmi una mano?
Vi ringrazio anticipatamente .

[professorkappa]

Mah, io mi trovo molto arrugginito sul calcolo matriciale.
La dimostrazione che ricordo io era banale (erano 2, forse meno eleganti del calcolo del tuo testo, ma per me efficaci ed intuitive)

Dimostrazione 1: il vettore $u(t)$ puo' essere individuato mediante i suoi coseni direttori e sara', ovviamente:

$u(t)=cosphiveci+sinphivecj$

Derivando $[du]/[dt]=-sinphidotphiveci+cosphidotphi vecj=dotphi(-sinphi,cosphi)=omega(-sinphi,cosphi)$

Il vettore $(-sinphi,cosphi)$ e' un vettore unitario ruotato nel senso del moto di $pi/2$

Dimostrazione 2

I vettori $u(t+Deltat)$, $Deltau$ e $u(t)$ sono regolati dalla relazione: $u(t+Deltat)=u(t)+Deltau$.

Il vettore $[du]/[dt]$ il limite del rapporto $[Deltau]/[Deltat]$ cioe' $[u(t+Deltat)-u(t)]/[Deltat]$ per $Delta->0$

Si vede subito che tale rapporto, per $Delta->0$, e' un vettore ortogonale a $vecu$.
Per calcolare il modulo, basta notare che $du=2*u*[sindvarphi]/[2]$ che per $dvarphi->0$ diventa $du=2*1*[dvarphi]/2=dvarphi$.

Il modulo e' pertanto $[du]/[dt]=[dvarphi]/[dt]$

[anonymous_0b37e9]

Si tratta del concetto di rotazione infinitesima mediante gli sviluppi in serie.

Rotazione finita di un angolo $\phi$

$hatR(\phi)=[(cos\phi,-sin\phi),(sin\phi,cos\phi)]$

Rotazione infinitesima di un angolo $\phi rarr 0$

$hatR(\phi)=[(1-1/2\phi^2+o(\phi^2),-\phi+o(\phi)),(\phi+o(\phi),1-1/2\phi^2+o(\phi^2))]$

Rotazione infinitesima di un angolo $\phi rarr 0$ al primo ordine

$hatR(\phi)=[(1,-\phi),(\phi,1)]=[(1,0),(0,1)]+\phi[(0,-1),(1,0)]$

Quindi, la seconda matrice non è stata ricavata calcolando:

$[(cos(\pi/2),-sin(\pi/2)),(sin(\pi/2),cos(\pi/2))]=[(0,-1),(1,0)]$

piuttosto, trattandosi di uno sviluppo al primo ordine, calcolando:

$(d)/(d\phi)[(cos\phi,-sin\phi),(sin\phi,cos\phi)]_(\phi=0]=[(-sin0,-cos0),(cos0,-sin0)]=[(0,-1),(1,0)]$

Questa parte mi risulta del tutto ignara.

Infatti, visto che $[\phi rarr 0]$, quelle argomentazioni fondate su $[\phi=\pi/2]$ non hanno alcun senso.

[ale.vh]

Ah ok! Adesso la dimostrazione mi risulta molto più semplice. Grazie mille per la vostra disponibilità

[ale.vh]

Ah ok! Adesso la dimostrazione mi risulta molto più semplice.
Giusto un' ultima perplessità che deriva dalla dimostrazione suggerita dal "professorkappa"

basta notare che $ du=2*u*[sindvarphi]/[2] $

Vorrei sapere da dove viene fuori tale asserzione.
Grazie mille per la vostra disponibilità

[professorkappa]

E un triangolo isoscele di ampiezza $dvarphi$. Il lato e' u, la semibase e' $usin((dvarphi)/2)$