Test ipotesi: errore secondo tipo

[bubbaloke]

$ bar(x) =17.4$
$ s=4.2 $
$ n=40 $
$alpha = 0.01$
$H_0: mu <=15$
$ H_1: mu>15 $
$R=(t: t>t_(alpha))$
$t=3.614$ $t_0.01=2.426$

Calcore $beta$ per $H_0=15$ e $H_1=16$

evento "accetto $H_0$" = $((bar(x)-15)/(4.2/sqrt(40))<=2.426)$
$= (bar(x) <=16.61)$
$beta= P(bar(x)<=16.61|mu=16)$
$P(t<=(16.61-16)/(4.2/sqrt(40)))$
$P(t<=0.92) = 0.82$
cosa ho sbagliato?

[bubbaloke]

rettifico, non parla di normalità (ma nella soluzione dell esercizio usa il test t; forse c'è un refuso)
testo:
vengono estratte 40 porzioni roccia da sottoporre ad analisi per verificare la percentuale di cadmio. si osserva percentuale media di 17.4 e deviazione standard 4.2. l'estrazione di minerale è conveniente se il contenuto medio di cadmio è maggiore di 15.
1)si specifichi il sistema di ipotesi
2)si stabilisca se esiste la convenienza economica ($alpha =0.01$)

in riferimento all'esercizio precedente si determini la probabilità dell'errore di seconda specie per il sistema di ipotesi $H_0: mu=15, H_1: mu=16$ assumendo $alpha=0.01$

la prima parte l'ho risolta per la seconda invece ottengo un valore diverso

[tommik]

mi sembra comunque tutto a posto... perché dici di aver sbagliato?

$P(T_((39))<0.92)=0.82$ anche utilizzando una gaussiana (che con 39 gdl è praticamente identica)

Se c'è qualche cosa che non ti convince ti consiglio di scrivere per bene tutto il testo

EDIT: se il testo non parla di normalità ma usa il test t è perché il testo sbaglia. Se non vi sono specificazioni sul modello non si può usare la t di student ma, essendo 40 sufficientemente grande potrebbe risolverlo (al punto 1) utlilizzando la normale.

Se ti viene giusto, ovvero il valore soglia è 16.61 il resto è fatto per bene. Quanto dovrebbe venire $beta$ secondo la soluzione?

[bubbaloke]

infatti memore del tuo consiglio mi è sembrato strano trovare t nella soluzione. l'ipotesi di normalità deve essere sempre speficiata espressamente?esistono dei casi in cui può essere dedotta dal contesto secondo te? beta è 0.794.

[tommik]

capirai che differenza...... vi viene ad entrambi circa 80%

comunque se il testo è scritto così è sbagliato usare la t di student e sono contento che tu lo abbia compreso

Soprassedendo su questo fatto .... a lui viene leggermente diverso [probabilmente] solo per problemi di arrotondamento

La normalità del modello va sempre scritta espressamente. Purtoppo vedo che diversi esercizi se lo dimenticano (lo danno per scontato) causando però una grossa confusione in chi ha studiato bene la teoria.....anche questo è un dato di fatto. In caso non sia specificato il modello, con certi accorgimenti, può essere comunque usata una gaussiana per un test asintotico.

spero di essere stato chiaro.

[bubbaloke]

si, infatti. e in persone insicure crea inutili dubbi. grazie ancora

[tommik]

Ecco comunque come trovare il risultato del testo esattamente di 0.794

Con i dati del problema, non avendo specificato il modello gaussiano sottostante, non è nemmeno possibile usare la distribuzione ancillare t di student (che non esiste) ma dobbiamo risolvere il problema in modo asintotico utilizzando la Gaussiana. Si può fare, in virtù del TLC, perché $n>32$

Quindi otteniamo la seguente regione critica (sotto ipotesi $mathcal(H)_0$)

$P{(bar(X)-15)/(4.2) sqrt(40)>=z}=0.01$

da cui $bar(x)>=16.545$

a questo punto, sempre con la normale otteniamo

$beta=P{Z<(16.545-16)/(4.2) sqrt(40)}=Phi(0.82)=0.794$

Comunque che l'esercizio sia scritto malamente è palese, come pure è palese che sia stato rimaneggiato per renderlo più risolvibile. QUI c'è un utente che ha postato lo stesso esercizio qualche tempo fa con gli stessi dati ma $n=10$....in quel caso non vi erano problemi risolutivi perché le richieste dell'esercizio erano più blande.
Nel tuo caso, probabilmente, qualche docente coscienzioso ha aumentato l'ampiezza del campione per poterlo risolvere....fatto 30 poteva fare 31 inserendo l'ipotesi di normalità del modello