Continuità inversa(spazi metrici)

[anto_zoolander]

Non servono strettamente le conoscenze topologiche, quanto il modo di ragionare.

Magari per ora mi manca

Devi dimostrare che $x_n->g(y)$

Ho dimenticato di mostrare che $y=f(x)$

$f(x_(n_j))$ è una sottosuccessione di $f(x_n)$, che è convergente, pertanto deve avere lo stesso limite.
Ovvero sarà $y=f(x) <=> x=g(y)$

E questa da dove l'hai tirata fuori? Non è vero, se vuoi un controesempio prendi $a_n=2^(n(−1)^n)$, la parte dopo si basava su questo quindi è da rifare.

Non riesco a trovare un errore in questa parte della dimostrazione

abbiamo almeno una sottosuccessione convergente, quindi l'insieme delle sottosuccessioni convergenti è non vuoto.

se $x_(n_s)$ e $x_(n_t)$ sono due sottosuccessioni convergenti a $x_1,x_2$ allora

$f(x_(n_s))->f(x_1)$ e $f(x_(n_t))->f(x_2)$

essendo sottosuccessioni di $f(x_n)$ successione convergente, devono avere lo stesso limite. Ovvero $f(x_1)=f(x_2)$ da cui $x_1=x_2$ per l'iniettività.

ti riferivi a questo? se si, mi sembra corretto.

Il controesempio quale ipotesi viola? ricorda che $x_n$ l'ho definita a partire da una successione del codominio.

[anto_zoolander]

Aggiorno: il mio prof mi ha detto che la dimostrazione è corretta nell’ipotesi in cui sia vero che una successione converge se e solo se ogni sottosuccessione converge allo stesso limite.

[otta96]

Si, ma quello che avevi detto prima era una cosa completamente diversa.

[anto_zoolander]

Magari mi sono espresso male come al solito

A questo punto sposto la cosa su un altro piano. Negli spazi metrici è vero che una successione converge se e solo se ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite?

Cioè posso accingermi a dimostrarlo, o avete un controesempio?

[otta96]

Si è vero, ma non è un gran risultato.

[anto_zoolander]

Va bene, ma se utilizzo un risultato in una dimostrazione da me partorita, avrei il piacere di capire se tutto sia corretto.
A tale scopo metto la dimostrazione di questo ultimo fatto

sia $(X,d)$ spazio metrico e ${x_n}_(n inNN)subseteqX$ una successione.

se ogni sottosuccessione di ${x_n}_(n inNN)$ converge ad $x$ allora $x_n->x$

supponiamo per assurdo che ${x_n}$ non converga ad $x$, allora:

$existsepsilon>0forallj inNN:exists n inNN, n>j wedge d(x_n,x)geqepsilon$

cosa ci dice formalmente che $n>j$? che possiamo costruire una sottosuccessione che non converge.
di fatto l'idea sarebbe che

$j=0,existsk_1 inNN,k_1>0wedged(x_(k_1),x)geqepsilon$

$j=k_1, exists k_2 inNN, k_2>k_1 wedge d(x_(k_2),x)geq epsilon$
...
$j=k_n, exists k_(n+1) inNN,k_(n+1)>k_n wedge d(x_(k_(n+1)),x)geq epsilon$

quindi costruiamo una successione ${k_n}_(n inNN)subseteqNN$ strettamente crescente con la proprietà che $d(x_(k_n),x)geqepsilon$ e questo è impossibile, pertanto deve convergere a $x$

ho utilizzato nel negare la definizione che $not[foralln inNN(P(n)=>Q(n))]equivexistsn inNN(P(n)wedgenotQ(n))$

PS: per sottosuccessione intendo quelle contenute propriamente nella successione di partenza

[dissonance]

Anto, scusami un attimo.

Negli spazi metrici è vero che una successione converge se e solo se ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite?

La successione tutta intera è una sottosuccessione di sé stessa. Quindi questa frase non contiene nessuna informazione. Il teoremino "vero" è un altro: in uno spazio metrico (ma pure topologico) \(X\), la successione \((x_n)_{n\in \mathbb N}\) converge a \(x\) se e solo se per ogni sottosuccessione \( (x_{k_1(n)})_{n\in\mathbb N}\) risulta che esiste una sotto-sottosuccessione \( (x_{k_1(k_2(n))})_{n\in\mathbb N}\) tale che \(\lim_{n\to \infty} x_{k_1(k_2(n))}=x\).

Suggerimento per la dimostrazione: ragionare per assurdo.

[anto_zoolander]

Ciao Dissonance, buon 25 aprile

Al momento sono fuori, appena torno la faccio.
Io intendevo comunque escludendo la successione stessa, ovvero, per ‘qualsiasi sottosuccessione propria’ intendo esclusa la successione stessa.

[dissonance]

Vabbé, ma è sempre una banalità. La sottosuccessione \((x_2, x_3, x_4 \ldots)\) è una sottosuccessione propria, e chiaramente essa converge se e solo se la successione intera lo fa. (Qui "successione intera" significa \((x_1, x_2, x_3\ldots)\)).