Rifrazione della luce

[pilloeffe]

Sì scusami, mi correggo: è vero che $f \ge 0 $, ma la funzione proposta non assume il suo valore minimo $f = 0 $...
Però si può ragionare in questo modo:

$ f(x) = sqrt{l_1^2+x^2}/c_1+ sqrt{l_2^2+(h-x)^2}/c_2 = sqrt{(l_1/c_1)^2+(x/c_1)^2} + sqrt{(l_2/c_2)^2+((h-x)/c_2)^2} $

Consideriamo $ t(x) := sqrt{l_1^2+x^2} + sqrt{l_2^2+(h-x)^2} $

Minimizzare $t(x) $ è semplice; posto per comodità $a_1 := l_1 $, $a_2 := x $, $b_1 := l_2 $, $b_2 := (h-x) $, si ha:

$ sqrt{a_1^2+a_2^2} + sqrt{b_1^2+b_2^2} \ge sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} $

(disuguaglianza di Minkowsky) ove vale il segno di uguaglianza (minimo della funzione), se $ a_1/b_1 = a_2/b_2 $
Ci devo pensare meglio, ma dovrebbe essere possibile fare lo stesso discorso con $f(x) $ a meno dell'introduzione di un'opportuna omogeneizzazione delle variabili in modo che $a_2 + b_2 $ sia costante come accade per $t(x) $