Re: Area $<=1/16$

Messaggioda giammaria » 19/04/2018, 16:38

@ spugna. Buono l'inizio, ma da un certo punto in poi non ti capisco più.
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Scrivi "quindi tutti i 7 punti devono trovarsi a distanze $1/8$ e $3/8$ da due lati": perché? Ad esempio, se fosse $S(ABP_1)=3/16$ al suo interno ne prenderei il baricentro: dista $1/8$ da AB ma la sua distanza da altri lati non è $3/8$. Anche peggio per triangoli aventi per vertici due o più punti P.


Le vostre osservazioni mi hanno fatto sorgere un'altra domanda, che è più facile ed a cui ho saputo rispondere; dalla sua riposta si deduce anche la risposta alla mia prima domanda (con un punto un po' dubbio). Lascio a voi il problema.
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La domanda è: "E' possibile evitare i triangoli degeneri?" e la risposta è no. Definisco bene il problema.
All'interno di un quadrato pongo 7 punti, in modo tale che il quadrato sia coperto senza sovrapposizioni da 16 triangoli; nel farlo uso il criterio indicato da axpgn nella risposta al problema originale. Dimostrare che è impossibile disporli in modo da rispettare entrambe le seguenti condizioni:
1) i 16 triangoli sono equivalenti;
2) considerando anche i vertici del quadrato, non ci sono tre o più punti allineati.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
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Re: Area $<=1/16$

Messaggioda spugna » 20/04/2018, 10:21

giammaria ha scritto:@ spugna. Buono l'inizio, ma da un certo punto in poi non ti capisco più.
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Scrivi "quindi tutti i 7 punti devono trovarsi a distanze $1/8$ e $3/8$ da due lati": perché? Ad esempio, se fosse $S(ABP_1)=3/16$ al suo interno ne prenderei il baricentro: dista $1/8$ da AB ma la sua distanza da altri lati non è $3/8$. Anche peggio per triangoli aventi per vertici due o più punti P.


In effetti avrei potuto esprimermi meglio...

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La suddivisione in 16 triangoli si ottiene numerando i punti da 1 a 7 e congiungendo a ogni passo l'ultimo punto coi vertici del poligono che lo contiene. Ora, se vogliamo che tutti i 165 triangoli abbiano area almeno $1/16$, è necessario che qualsiasi numerazione dei 7 punti dia luogo a 16 triangoli di area $1/16$, ma allora per ogni punto possiamo scegliere una numerazione rispetto alla quale è il primo, considerare la suddivisione corrispondente e dedurre (tramite il ragionamento che avevo scritto nella prima parte) che le distanze del primo punto dai lati del quadrato sono forzate.
$2022=phi^15+phi^13+phi^10+phi^5+phi^2+phi^(-3)+phi^(-6)+phi^(-11)+phi^(-16)$
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Re: Area $<=1/16$

Messaggioda giammaria » 20/04/2018, 17:15

@ spugna. Non mi convince, per i seguenti motivi.

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Il quadrato è coperto con 16 triangoli (di copertura) e ce ne sono altri 165-16=149; il dato di $1/16$ vale solo per i primi 16, che quindi occorre distinguere bene dagli altri. Tenendo conto di questo, notiamo che:
- La numerazione dei punti non può essere cambiata in totale libertà perché ogni punto viene messo considerando la posizione di quelli precedenti. Ad esempio, $P_2$ sta in un triangolo in cui un vertice è $P_1$ ma non è vero il contrario.
- I 149 triangoli non di copertura possono avere qualsiasi area superiore ad $1/16$, anche $4/19$. Quindi tutti i punti devono distare almeno $1/8$ dai lati del quadrato ma in generale quella distanza può essere qualsiasi.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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Re: Area $<=1/16$

Messaggioda giammaria » 20/04/2018, 20:06

Spugna, ci ho ripensato e mi hai convinto! Ti chiedo scusa e ti faccio vivi complimenti; cancellerei il mio precedente intervento se non lo ritenessi scorretto nei confronti di chi l'ha già letto. Quanto a me, devo prendere l'abitudine di rispondere solo dopo alcune ore di riflessione.
Allego il ragionamento col quale arrivo alla predetta convinzione.

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Escludo che ci siano tre punti allineati perché in quel caso sarebbe già dimostrata la tesi, che è "Almeno un triangolo ha area inferiore ad $1/16$".
Dopo aver coperto il quadrato nel modo indicato, lascio i 7 punti e cancello tutti i segmenti interni al quadrato. Prendo poi uno qualsiasi di quei punti e lo congiungo con i vertici; proseguo col criterio che se in un triangolo ci sono uno o più punti, uno di essi viene collegato ai vertici del triangolo. Quando l'avrò fatto per tutti i 7 punti, avrò ottenuto un'altra copertura del quadrato, sempre con 16 triangoli.
Conclusione: uno qualsiasi di quei punti può essere considerato come il primo.
Per il resto, rimando a quanto scritto da Spugna.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
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