Limite seno composto seno

[vivi96]

Sono di nuovo qui Sono scarsissima in trigonometria, non riesco a capire quali formule applicare. Ho un limite con $n->infty$ di $nsin(sin(1/n))$ Come posso riscrivermela?

[gugo82]

Qui la trigonometria c'entra come i cavoli a merenda...
Non è che perchè vedi un $sin$ devono per forza essere coinvolte considerazioni trigonometriche nella soluzione dell'esercizio.

Conosci i limiti notevoli?
Usali.

[Summerwind78]

Ciao

premetto subito che non sono bravissimo con i limiti quindi ti chiedo di aspettare che qualcuno confermi o smentisca quello che dico.

provo però a farti una mia considerazione per poter vedere anche io se è corretta

tu hai

$lim_(n->oo) n sin(sin(1/n))$

sostituisci $n$ con $1/u$

pertanto il $lim_(n->oo)$ diventa un $lim_(u->0)$

da cui
$lim_(n->oo) n sin(sin(1/n)) = lim_(u->0) 1/u \cdot sin(sin(u)) = lim_(u->0) (sin(sin(u)))/u$

facendo una becera sostituzione di $u=0$ abbiamo

$ lim_(u->0) = (sin(sin(0)))/0 = (sin(0))/0 = 0/0$

quindi una forma indeterminata

ma essendo il numeratore $sin(sin(u))$ e il denominatore $u$ entrambi funzioni continue e derivabili, ci viene incontro il teorema de l'Hopital quindi

$ lim_(u->0) (sin(sin(u)))/u = lim_(u->0) (d/(du) sin(sin(u)))/((du)/(du))$

che mi da

$lim_(u->0) (cos(sin(u))cos(u))/1 = lim_(u->0) cos(sin(u))cos(u)$

applico la stessa becera sostituzione di prima $u=0$ ottenendo

$cos(sin(0))cos(0) = cos(0)\cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$


Voi che dite? ha senso?

[pilloeffe]

Ciao vivi96,

Non che sia sbagliata la soluzione proposta da Summerwind78, ma è decisamente molto più semplice procedere come suggerito da gugo82:

$ lim_{n \to +infty} n sin[sin(1/n)] = lim_{n \to +infty} frac{sin[sin(1/n)]}{sin(1/n)} \cdot frac{sin(1/n)}{1/n} = 1 \cdot 1 = 1 $

[Summerwind78]

In effetti questo procedimento è molto più semplice del mio

[Ernesto01]

C'è un sottile errore logico in De l'Hopital, lo faccio notare solo perchè può essere interessante dato che è molto nascosto.
Utilizzare de L'hopital per calcolare
$lim_(u->0) (sin(sin(u)))/u $ è "incoerente".
Per utilizzare L'hopital devi conoscere la derivata di $sin(sin(u))$, e in particolare devi conoscerla in $0$. Quindi tu dovresti già conoscere il limite del rapporto incrementale in $0$:
$lim_(h->0) sin(sin(h))/h$
Ma questo è proprio il limite che volevi dimostrare, a meno di cambiare il nome di $h$ in $u$.

[Summerwind78]

C'è un sottile errore logico in De l'Hopital, lo faccio notare solo perchè può essere interessante dato che è molto nascosto.
Utilizzare de L'hopital per calcolare
$lim_(u->0) (sin(sin(u)))/u $ è "incoerente".
Per utilizzare L'hopital devi conoscere la derivata di $sin(sin(u))$, e in particolare devi conoscerla in $0$. Quindi tu dovresti già conoscere il limite del rapporto incrementale in $0$:
$lim_(h->0) sin(sin(h))/h$
Ma questo è proprio il limite che volevi dimostrare, a meno di cambiare il nome di $h$ in $u$.

Interessante osservazione!!!

Grazie ne faccio tesoro