Salve, voglio dimostrare che se $P$ è un polinomio a coefficienti reali, allora \(\displaystyle P(z)=0 \Leftrightarrow P(\bar z)=0 \).
Scriviamo \(P(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k \) con \( a_k\in\mathbb{R} \ \forall k\). Per la linearità del coniugio \(\displaystyle P(\overline z)=\overline P(z) \) dal momento che \(\overline{\sum_{k=0}^n a_kz^k}=\sum_{k=0}^n \overline{a_k}\overline{z}^k=\sum_{k=0}^n a_k\overline{z}^k \). La tesi segue dalla coniugazione di entrambi i membri di \(\displaystyle P(z)=0 \) e di\(\displaystyle \overline P(z)=0 \) rispettivamente. Può andare bene?
Dovrei anche far vedere per un altro esercizio che \(\displaystyle z_1\overline z_2+\overline z_1 z_2=2Re(z_1\overline z_2) \) però non arrivo da nessuna parte, avrei bisogno di un suggerimento...