Faccio la discussione, partendo dai risultati del mio primo intervento.
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Premetto qualche osservazione:
- I casi in cui vale qualche uguale sarebbero degni di un esame a parte; non lo faccio per non dilungarmi troppo. In accordo a questo, scriverò sempre $<$ e non il $<=$ che sarebbe quasi sempre più esatto.
- $c$ è il lato su cui non giacciono gli estremi della corda. Fra gli altri due posso imporre che sia $a<b$ senza perdita di generalità.
- Fra la due soluzioni, chiamo $u$ la più piccola; può giacere su uno qualsiasi di $a,b$.
- $u,v$ sono le soluzioni dell'equazione indicata, cioè sono le intersezioni dell'asse $x$ con la parabola rivolta verso l'alto
$y=f(x)=2x^2-x(a+b+c)+ab$
Le condizioni da imporre sono che $u,v$ siano reali, positive e minori del lato su cui giacciono. La positività non richiede calcoli perché ci sono due variazioni; i calcoli per la realtà saranno fatti verso la fine, nell'unico caso in cui sono necessari.
Noto che si ha
$f(a)=2a^2-a(a+b+c)+ab=a^2-ac=a(a-c)$
$f(b)=...=b(b-c)$
Stante la $a<b$, gli unici ordini crescenti per i lati sono $abc,acb,cab$
Caso 1): $a<b<c$
Si ha $f(a)<0$ ed $f(b)<0$, quindi la parabola può assumere valori negativi e perciò incontra l'asse x; $a,b$ stanno fra le intersezioni. Ne consegue $v>b$, quindi un estremo della corda cade fuori dal lato: nessuna soluzione.
Caso 2): $a<c<b$
Si ha $f(a)<0$ ed $f(b)>0$, quindi col ragionamento precedente diciamo che ci sono intersezioni ed $a$ sta fra esse, mentre $b$ ne è a destra. E' accettabile la soluzione in cui $v$ giace su $b$ (ed $u$ su $a$), mentre non lo è quella scambiata: una soluzione.
Caso 3): $c<a<b$
Si ha $f(a)>0$ ed $f(b)>0$, quindi le soluzioni potrebbero non essere reali, ed approfondiremo dopo questo punto. Supponendo che siano reali, noto che $a,b$ sono e destra delle intersezioni; infatti
$x_("vertice")=(a+b+c)/4<(a+(a+c)+c)/4=(a+c)/2<(a+a)/2=a$
Quindi se le soluzioni sono reali sono entrambe accettabili ed ho due soluzioni; altrimenti non ne ho nessuna.
Esaminiamo ora la realtà: deve essere $Delta>0$, cioè
$(a+b+c)^2-8ab>0->(a+b+c)^2>8ab->a+b+c>2sqrt(2ab)->c>2sqrt(2ab)-a-b$
Sappiamo che si ha $c>b-a$ e ci chiediamo quale delle due limitazioni sia la più forte; a calcoli fatti, troviamo i seguenti sottocasi:
$" "" "$- se $b>2a$ la limitazione più forte è la $c>b-a$: le soluzioni sono reali per ogni triangolo disegnabile;
$" "" "$- se $a<b<2a$ la limitazione più forte è l'altra: le soluzioni sono reali solo se $c>2sqrt(2ab)-a-b$
$" "" "" "$Questa limitazione è sempre compatibile con la $c<a$ che governa il caso 3.
Conclusione: le corde risolventi sono al massimo tre, di cui due con estremi sui lati più lunghi e l'altra con un estremo sul lato più lungo e l'altro estremo sul lato più corto. Le prime due corde potrebbero però mancare.
EDIT
A qualche giorno di distanza, mi accorgo che nel caso 3 non c'è il sottocaso $b>2a$. Infatti da $c<a$ segue
$b<a+c<a+a=2a$
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)