Dubbio serie di Fourier

[gianni97]

Buongiorno, studiando le serie di Fourier ho letto che ogni funzione periodica limitata e a quadrato integrabile nel suo periodo ammette una serie di fourier che converge quadraticamente ad essa.

Ma una funzione limitata in un intervallo limitato (quale il periodo) non é automaticamente a quadrato integrabile? In caso contrario mi potreste fare qualche esempio?

[Ernesto01]

Non vorrei essere troppo formale dato che non conosco il tuo percorso di studi. Per esempio esistono insiemi limitati non misurabili secondo Lebesgue (insieme di Vitali, definito come sottoinsieme di $[0,1]$), se prendi come funzione la caratteristica di tale insieme su $[0,1]$ e la "ripeti" con periodo $1$, ottieni una funzione periodica limitata ma sicuramente non è a quadrato sommabile nel suo periodo (l'integrale stesso perde di significato, dato che non è definito per funzioni non misurabili).

[dissonance]

Non vorrei essere troppo formale dato che non conosco il tuo percorso di studi. Per esempio esistono insiemi limitati non misurabili secondo Lebesgue (insieme di Vitali, definito come sottoinsieme di $[0,1]$), se prendi come funzione la caratteristica di tale insieme su $[0,1]$ e la "ripeti" con periodo $1$, ottieni una funzione periodica limitata ma sicuramente non è a quadrato sommabile nel suo periodo (l'integrale stesso perde di significato, dato che non è definito per funzioni non misurabili).

Vabbè, ma non penso fosse quello il punto, Ernesto. Quando si parla di "funzione" in questi contesti, si intende sempre "funzione misurabile". Secondo me Gianni ha ragione, probabilmente l'autore della roba che sta leggendo si è sbagliato e ha scritto una ipotesi ridondante. Non occorre che la funzione sia limitata, è sufficiente che abbia il quadrato integrabile.

[gianni97]

Capito. Grazie.