Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda elatan » 22/04/2018, 08:44

Salve a tutti,

la problematica è la seguente. Si riesce a dimostrare che se $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ si ha \[
\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}.
\]

Si riesce a vedere, mediante l'utilizzo di esempi, che per l'unione infinita non vale l'uguaglianza, bensì
\[
\bigcup_{i=1}^{+\infty} \bar{A_{i}}\subseteq \overline{\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_{i}}
\]

mi chiedevo se esistono delle ipotesi, magari sui singoli insiemi $\{A_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ tali da poter affermare che

\[
\bigcup_{i=1}^{+\infty} \bar{A_{i}}=\overline{\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_{i}}
\]

Vi ringrazio :D
elatan
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Re: Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda killing_buddha » 22/04/2018, 11:11

Si dimostra che
\[
\overline{\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_i} \cup \bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{j=0}^{\infty} A_{i+j}}
\] sicché la chiusura commuta con le unioni infinite se e solo se \(\bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{j=0}^{\infty} A_{i+j}}\) è vuoto.
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Re: Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda elatan » 22/04/2018, 13:02

Grazie per la risposta.
Quindi, se gli $\{A_{i}\}_{i\inmathbb{N}}$ sono disgiunti abbiamo l'uguaglianza, vero?
elatan
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Re: Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda dissonance » 22/04/2018, 17:01

No. Prendi $A_j=\{q_j} $ dove i $q_j$ sono una enumerazione dei razionali.
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Re: Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda elatan » 22/04/2018, 17:35

Perfetto, grazie :D . E se aggiungiamo la condizione $\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_{n}$
limitata, cosi come ogni $\{A_{n}\}$ possiamo dire qualcosa in più?
Ultima modifica di elatan il 22/04/2018, 17:47, modificato 1 volta in totale.
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Re: Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda Martino » 22/04/2018, 17:45

No, prendi $A_n={1/n}$
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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Re: Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda elatan » 22/04/2018, 17:48

Grazie!
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Re: Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda dissonance » 22/04/2018, 18:29

elatan ha scritto:Perfetto, grazie :D . E se aggiungiamo la condizione $\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_{n}$
limitata, cosi come ogni $\{A_{n}\}$ possiamo dire qualcosa in più?

Ma cosa significa "limitato" in uno spazio topologico? Nulla.
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Re: Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Messaggioda elatan » 22/04/2018, 18:43

Si, mi sono reso conto di aver detto una fesseria.
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