Massimi e minimi vincolati

[Stizzens]

esplicito il vincolo :
$ y = sqrt(-x+4) $

Hai dimenticato un pezzo di vincolo: $y=-\sqrt{-x+4}$.

quindi sostituisco questa y con quella nell' eqauzione che pongo = 0?

[Stizzens]

non capisco allora io esplicito il vincolo e quindi:
$ y^2+x-4=0 $
diventa:
$ x = -y^2+4 $
dopo di che lo sostituisco alla funzione e quindi ho:
$ z = y^3-(-y^2+4)^2-12y $
facendo tutti gli opportuni calcoli arrivo che:
$ z = -y^4+y^3+8y^2-12y-16 $
ora faccio la derivata rispetto a y
$ zy = -4y^3+3y^2+16y-12 $
ora pongo questo valore = 0
$ -4y^3+3y^2+16y-12=0 $
facendo gli opportuni calcoli arrivo che
$ (y^2+4)(4y-3)=0 $
il primo fattore viene che è impossibile mentre il secondo viene
$ y = 3/4 $
e questo è il punto critico dopo di che il passo successivo pongo zy>0
$ -4y^3+3y^2+16y-12>0 $
facendo gli opportuni calcoli viene che
$ (y^2+4)(4y-3)>0 $
il primo fattore ha come risultato (per ogni y appartenente ad R) mentre il secondo fattore
$ y > 3/4 $
ora come devo procedere?

[dissonance]

Insomma, il tuo problema non sono i punti critici. Tu non hai capito le disequazioni. È là che devi recuperare perché è una cosa di base. Fatti un po' di esercizi vecchi sulle disequazioni, è roba da scuola superiore e prima settimana di università al massimo.

In questo caso, la disequazione \((y^2+4)(4y-3)>0\) che soluzioni ha? Me lo devi dire tu, mi rifiuto di risolverla io.

[Stizzens]

le ho scritte le soluzioni, io mi riferisco dopo averle trovate, perchè quando ho la x al posto della y la risolvo in un modo, ma quando ho y devo risolvere nello stesso modo?

[dissonance]

Devi risolvere una disequazione. Che sia della \(x\) o della \(y\) è ininfluente. Hai scritto \(y>3/4\) ma che cosa significa questo? In quale intervallo la derivata \(z_y\) è positiva, e in quale è negativa?

[Stizzens]

la derivata è positiva per valori di y > 3/4 e negativa per valori <, ma ora quello che mi chiedo io è che il procedimento è uguale identico a quando risolvo con x? quindi y=3/4 è un punto di minimo relativo?

[dissonance]

Non $y=3/4$. Il punto di minimo è $(x, y)=(-(3/4)^2 +4, 3/4)$.

[Stizzens]

A ecco allora apposto il procedimento è uguale a quando effettuo i calcoli con la x, questo volevo sapere, grazie mille

[dissonance]

Certo che è ininfluente, perché \(x\) e \(y\) sono legate tra loro dalla relazione \(x=4-y^2\). Se avessi usato \(x\) come variabile indipendente, avresti avuto calcoli più difficili per via delle radici quadrate, ma alla fine sempre gli stessi punti critici dovevi trovare.

[anto_zoolander]

A me sembra che quel polinomio abbia come radice anche $y=-2,2$