Sia dato un processo di Poisson ${N(t)}$ con intensità $\lambda \in RR^+, \lambda < +\infty$.
Si consideri la successione di tempi ${T_n}_{n \in NN}$, così definita:$T_0=0, T_n= \text{inf} {t: N(t)=n} \quad \text{per ogni n} \in NN^{+}$
Sia $X_n := T_n - T_{n-1}$, per ogni $n \in NN^{+}$.
Si può dunque intepretare $T_n$ come il tempo dell'n-esimo arrivo, mentre $X_n$ indica l'intertempo tra due arrivi consecutivi.
Mostrare che le v.a. $X_1, X_2,\ldots$ sono i.i.d., con una distribuzione esponenziale di parametro $\lambda$
Sol.:
Conviene ricordare che per un processo di Poisson ${N(t)}$ vale che gli incrementi sono omogenei e indipendenti.
Per dimostrare l'asserto avevo pensato di dover sfruttare la relazione chiave che vale nei processi di Poisson:
$T_N \leq t \text{ se e solo se } N(t) \geq N$
Così facendo si ha: $\mathbb{P}(T_N - T_{N-1} \leq t)= \mathbb{P}(N(t) \geq 1)$.
Ora, ricordando che per un processo di Poisson vale che la distribuzione degli incrementi $N(s,t)$ segue, appunto, una Poisson di parametro $\lambda (t-s)$, si ha che (per $s=0$ e dunque $N(s,t)=N(t)$)
$\mathbb{P}(N(t)\geq1)= e^{-\lambda t} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{-\lambda t} ( e^{\lambda t} -1) = 1 - e^{-\lambda t}$
Si osserva che la funzione di ripartizione $F_t(X_N)= \mathbb{P}(X _N \leq t)=\mathbb{P}(T_N - T_{N-1} \leq t)= \mathbb{P}(N(t) \geq 1) =_\underbrace{\text{vedi sopra}} 1-e^{-\lambda t }$, il che conferma che la distribuzione delle $X_n$ è un'esponenziale di parametro $\lambda$.
L'indipendenza segue dal fatto che per un processo di Poisson gli incrementi sono indipenenti, anche se non saprei come mostrarlo formalmente, e qui gradierei un parere
La tua dimostrazione mi è chiara.