Per ogni due coppie di interi \(\displaystyle \{a,b\} \) e \(\displaystyle \{c,d\} \) possiamo trovare due interi \(\displaystyle u,v \) t.c. \[\displaystyle (a^2+b^2)(c^2+d^2)=u^2+v^2 \] E' un esercizio del Bak-Newman con asterisco, quindi non ha neppure un suggerimento purtroppo. La prima cosa sensata che mi è sovvenuta guardando questa espressione è che il tutto è sospettosamente simile a moduli quadri di numeri complessi: \(\displaystyle x=a+ib \), \(\displaystyle y=c+id \), e \(\displaystyle z=u+iv \). Quindi \(\displaystyle |x|^2|y|^2=|xy|^2=|z|^2 \); siccome \(\displaystyle \text{Re } z=ac-bd \) e \(\displaystyle \text{Im } z=ad+bc \) sono ancora numeri interi mi basta scegliere proprio \(\displaystyle u=\text{Re } z \), \(\displaystyle v=\text{Im } z \).
Chiedo la vostra conferma, ma spero di non essere fuori strada. Sorge invece un problema nel secondo punto: lascio l'inglese per non incorrere in errori di traduzione.
Show that, if \(\displaystyle a, b, c, d \) are all nonzero and at least one of the sets \(\displaystyle \{a^2,b^2\} \) and \(\displaystyle \{c^2,d^2\} \) consists of distinct positive integers, then we can find \(\displaystyle u^2,v^2 \) as above with \(\displaystyle u^2, v^2 \) both positive.
Non è ovvio che i quadrati degli interi siano positivi?
