Quadrati e cerchi

[j18eos]

Scuola Superiore di Studi Universitari e di Perfezionamento Sant'Anna

Concorso di Ammissione al I Anno - Prova Scritta di Matematica - 01/IX/2016

Esercizio 2. Si desidera coprire completamente un cerchio nero di raggio \(\displaystyle r\) con quadrati bianchi di lato \(\displaystyle l\), anche sovrapponendoli. Sia \(\displaystyle N(l,r)\) il numero minimo di quadrati necessari per coprire il cerchio.

Si determini:

1. una stima per eccesso di \(\displaystyle N(l,r)\) in funzione di \(\displaystyle l\) ed \(\displaystyle r\);
2. una stima per difetto di \(\displaystyle N(l,r)\) in funzione di \(\displaystyle l\) ed \(\displaystyle r\);
3. una stima per difetto del massimo \(\displaystyle r\) tale che \(\displaystyle N(l,r)\leq 1\) in funzione di \(\displaystyle l\);
4. una stima per difetto del massimo \(\displaystyle r\) tale che \(\displaystyle N(l,r)\leq 2\) in funzione di \(\displaystyle l\);
5. una stima per difetto del massimo \(\displaystyle r\) tale che \(\displaystyle N(l,r)\leq 3\) in funzione di \(\displaystyle l\).

Nota bene: la valutazione dell'esercizio sarà crescente con la qualità delle stime proposte.

Buon divertimento.

A coloro che non si reputano "all'altezza" di questi esercizi dico: tentar non nuoce, dato che una volta compreso il trucco che si cela dietro questo esercizio, ci vuole un minuto e mezzo\due minuti per rispondere a tutte le domande.

[veciorik]

Non ho la soluzione generale, ma solo due soluzioni precise (non stime) per N=2 e 3, oltre alle due banali per N=1 e 4:

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1. $N=1 \qquad \qquad l/r=2$
   
2. $N=2 \qquad \qquad l/r=1+\sqrt(2)/2$
   
3. $N=3 \qquad \qquad l/r=1+\tan(\pi/3-\pi/4)$
   
4. $N=4 \qquad \qquad l/r=1$

[j18eos]

Che ragionamento si cela dietro quelle soluzioni?

[veciorik]

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Quadrati circoscritti ai settori circolari con angoli $ \quad (2pi)/N $
Forse funziona anche per $N > 4$, ruotando opportunamente i quadrati

[j18eos]

Domanda\Indizio:

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ma se i quadrati non fossero sovrapponibili, come rispondereste a (1) e (2)?

[Luca21]

A coloro che non si reputano "all'altezza" di questi esercizi dico: tentar non nuoce, dato che una volta compreso il trucco che si cela dietro questo esercizio, ci vuole un minuto e mezzo\due minuti per rispondere a tutte le domande.

Non riesco a capire quale sia il "trucco" che consente di rispondere a tutte le domanda in due minuti.
Potresti darmi un aiuto ? Grazie

[j18eos]

Non lo ricordo nemmeno io; e non ho la soluzione salvata da qualche parte...

Prova a risolvere la domanda (3), poi la (4) e, infine, la (5); io feci così...

[Luca21]

Non lo ricordo nemmeno io; e non ho la soluzione salvata da qualche parte...

Prova a risolvere la domanda (3), poi la (4) e, infine, la (5); io feci così...

Ho risolto facilmente la domanda 3) e la domanda 4), ma non riesco a risolvere decentemente la 5) . Quindi non riesco a risolvere la 1) e la 2).
Qualcun altro potrebbe dare una mano d'aiuto?

[j18eos]

Come generalizzeresti (3) a (4), e così poi passare a (5)?

[j18eos]

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Usare quella "cosa" che non ha la circonferenza ma che il cerchio ha...