Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda dasvidanke » 14/05/2018, 11:59

Salve a tutti, sono nuovo del forum e ho bisogno di aiuto per risolvere come da titolo un integrale curvilineo senza parametro, premetto che quelli con il parametro ho capito come vanno svolti ma sono incappato in questo (che è di una prova d'esame) che non riesco a risolvere, adesso non so se sbaglio metodo oppure è proprio impossibile! L'esercizio è questo, testuale:
Calcolare:
$\Gamma int_(A)^(B) (senx)/(3y^2+1) dx$

dove $\Gamma$ è la curva di equazione $y=cosx$, A è il punto di $\Gamma$ di ascissa 0 e B è il punto di $\Gamma$ di ascissa $pi/2$

Ho provato a sostituire $cosx$ alla $y$ e poi a moltiplicare per $sqrt (1+(y')^2)$ ma facendo i calcoli mi esce un mostro di integrale che non so risolvere, quindi chiedo a chi ne sa molto più di me qual'è il modo giusto di impostare e risolvere integrali curvilinei di questo tipo!
Grazie mille a chi saprà aiutarmi!
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Re: Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda Quinzio » 14/05/2018, 20:15

Ciao a tutti !
Sono di passaggio :-D

Siccome $y = cos x$, ne segue che $dy = -sinx\ dx $.
Sostituisci il $dx$ del tuo integrale con un $dy$ appropriato, occhio agli estremi di integrazione, ...et voila'.
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Re: Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda dissonance » 14/05/2018, 20:44

Ehi ciao Quinzio!!! Quanto tempo.
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Re: Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda Quinzio » 14/05/2018, 20:53

dissonance ha scritto:Ehi ciao Quinzio!!! Quanto tempo.

Ciao !
Sono vivo... :-)
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Re: Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda dasvidanke » 15/05/2018, 18:53

Quinzio ha scritto:Ciao a tutti !
Sono di passaggio :-D

Siccome $y = cos x$, ne segue che $dy = -sinx\ dx $.
Sostituisci il $dx$ del tuo integrale con un $dy$ appropriato, occhio agli estremi di integrazione, ...et voila'.

Grazie della risposta! Ma vorrei capire una cosa, visto che è un integrale curvilineo devo mettere la derivata della y sotto radice ($sqrt(1+(y')^2)$) e quindi otterrei $int_(0)^(pi/2) (senx)/(3cos^2x+1)sqrt(1+sen^2x) dx $ a questo punto poi lo devo svolgere per sostituzione? quindi trovando una nuova $y=f(x)$ e $dy=f(x)' dx$ ? oppure già il dato dell'esercizio $y=cosx$ è la sostituzione per risolverlo?
Lo so che sto rompendo le scatole ma mi serve per capire bene come muovermi quando devo risolvere questo tipo di integrali...
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Messaggioda Sergeant Elias » 15/05/2018, 21:02

Puoi procedere calcolando semplicemente il seguente integrale:

$\int_{0}^{\pi/2}(sinx)/(3cos^2x+1)dx$
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Re: Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda gugo82 » 15/05/2018, 23:24

Guarda, dasvidanke, che stai integrando una forma differenziale lineare, non una funzione scalare, su una curva... In altri termini, stai usando una formula non corretta per il calcolo che vuoi svolgere.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda pilloeffe » 16/05/2018, 01:49

Ciao dasvidanke,

Benvenuto sul forum!

Risolverei l'integrale indefinito relativo a quello definito suggerito da Sergeant Elias facendo uso proprio della posizione $y := cos x \implies dy = - sin x dx $ di cui al primo post di Quinzio, per cui si ha:

$int (sinx)/(3cos^2x+1) dx = - int dy/(3y^2 + 1) = - int dy/(1 + (sqrt{3}y)^2) = - 1/sqrt{3} int (d(sqrt{3} y))/(1 + (sqrt{3}y)^2) = $
$ = - frac{arctan(sqrt{3} y)}{sqrt{3}} + c = - frac{arctan(sqrt{3} cos x)}{sqrt{3}} + c $

Dunque si ha:

$ int_{0}^{\pi/2}(sinx)/(3cos^2x+1)dx = [- frac{arctan(sqrt{3} cos x)}{sqrt{3}}]_0^{\pi/2} = 0 + frac{arctan(sqrt{3})}{sqrt{3}} = frac{\pi}{3 sqrt{3}} $
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Re: Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda dissonance » 16/05/2018, 10:27

@pilloeffe: il risultato è giusto ma lasciami fare un po' il rompipalle, che come dice Gugo (in un altro post) qua gli anni passano e sennò si invecchia aggratis:
\(y:=\cos x\)

Quei due punti prima dell'uguale mi fanno strano. Già è una scrittura non proprio felicissima, ma qui è proprio a sproposito. In generale se vedo i due punti io capisco che stai assegnando un valore ad una variabile, come in informatica. Ma qui non stai facendo questo, perché stai praticando una sostituzione, quindi stai facendo una manipolazione formale per riscrivere l'integrale in un'altra forma. Alla fine della fiera, il simbolo \(y\) denoterà la variabile di integrazione del nuovo integrale, quindi non lo hai bloccato su un valore fisso.

Insomma, quei due punti non ci vanno, secondo me. :-)
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Re: Come risolvere integrale curvilineo senza parametro.

Messaggioda pilloeffe » 16/05/2018, 11:04

Ciao dissonance,
dissonance ha scritto:qua gli anni passano e sennò si invecchia aggratis:

Se trovi qualcuno che ti paga per invecchiare fammi sapere che mi interessa... :wink:

Accetto l'osservazione: ero nel dubbio anch'io se metterli per far capire che si comporta come una posizione, oppure no perché comunque già dall'inizio è $y = cos x $. In effetti in caso di dubbio è comunque meglio non metterli, visto che fra l'altro si tratta di una notazione che spesso non convince.
Facciamo così, correggo il mio post nel senso da te indicato, che tanto la sostanza non cambia.

Ops, come non detto: non compare più il pulsante modifica per il post... :smt012
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