Dubbi sulla dim di una prop su derivata seconda e convessità

Messaggioda Silvia panera » 13/05/2018, 13:00

Sia I intervallo di R, f: I-->R, $x_0$ appartenente all'interno di I, f derivabile due volte in $x_0$
Allora, se la derivata seconda di f in $x_0$ è maggiore di zero (rispettivamente minore di zero), f è convessa (risp. f è concava)
DIMOSTRAZIONE:
Consideriamo $ F(x)= f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0) $ $ AA x in I $
Calcoliamo $ F' (x)=f(x)-f(x_0) $ (PERCHE'?ho problemi con le derivate, sì) $ rArr F'(x_0)=o $ (perché?)
Allora $ F''(x)=f''(x_0)>o $
Allora f ha in $x_0$ un punto di minimo relativo proprio, cioè: $ EE V $ appartenente alla famiglia degli intorni di $x_0$ tale che per ogni x appartenente all'intersezione tra V e l'intervallo in questione, escluso $x_0$, risulta: $ F(x_0)< F(x) $
e risulta (PERCHE?) $f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)>0$
Silvia panera
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Re: Dubbi sulla dim di una prop su derivata seconda e convessità

Messaggioda billyballo2123 » 13/05/2018, 13:28

Con le derivate valgono le seguenti formule:
$\forall c\in\mathbb{R}$ e per ogni funzione $f,g$ derivabile in un punto $x_0$
- $D (c)=0$
- $D(f+g)=D(f)+D(g)$
- $D(cf)=cD(f)$.
Quindi
\[
D\big(F(x)\big)=D\big(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\big)=D\big(f(x)\big)-D\big(f(x_0)\big)-f'(x_0)D(x-x_0)\\=f'(x)-0-f'(x_0)\cdot 1=f'(x)-f'(x_0).
\]
E questo dovrebbe chiarirti il primo perché.
Se ora al posto di $x$ metti $x_0$ ottieni $f'(x_0)-f'(x_0)=0$, e questo dovrebbe chiarirti il secondo perché.
Dato che $F(x_0)=f(x_0)-f(x_0)-f'(x_0)(x_0-x_0)=0$, sostituendo $F(x)$ e $F(x_0)$ nella disuguaglianza $F(x)>F(x_0)$ risulta
\[
f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)>0
\]
e questo risponde al terzo perché.
billyballo2123
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Re: Dubbi sulla dim di una prop su derivata seconda e convessità

Messaggioda Silvia panera » 13/05/2018, 15:25

perfetto, grazie mille
Silvia panera
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Re: Dubbi sulla dim di una prop su derivata seconda e convessità

Messaggioda gugo82 » 15/05/2018, 23:36

Ho la sensazione che ci sia qualcosa che non va nell’enunciato...

Silvia, ma quale definizione di funzione convessa usi?
Dove hai preso questo teorema?
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