Re: Semplice integrale

Messaggioda anto_zoolander » 20/05/2018, 19:45

Come fai a dire che sono diverse? Una cosa è la funzione integranda, un’altra cosa è la funzione integrale

$f(x)=int_(0)^(x)e^tdt=e^x-1=>f’(x)=e^x$ poi si cambia la notazione della variabile nell’integrazione, ma non c’è ambiguità
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Re: Semplice integrale

Messaggioda dRic » 20/05/2018, 19:49

Forse mi sono spiegato male.

Risolviamo il problema seguente:

$int_0^x f = e^x$

Se $f = e^t$

$int _0^x e^t dt = e^x - 1 != e^x$
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Re: Semplice integrale

Messaggioda anto_zoolander » 20/05/2018, 20:41

Ma la $f$ è incognita nel tuo esempio la stai assumendo.

Sono ad una comunione quindi non riesco a trasmettere perfettamente quello che voglio dire però in sostanza la cosa segue dal teorema fondamentale del calcolo in quanto la funzione integrale è una primitiva della integranda e che due primitive differiscono per una costante
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Re: Semplice integrale

Messaggioda dRic » 20/05/2018, 20:55

La $f$ è incognita, ma seguendo il ragionamento di prima dovrebbe risultare $f = e^t$ cosa non vera. Magari ho capito male quello che volevi dire
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Re: Semplice integrale

Messaggioda dRic » 20/05/2018, 20:56

Comunque che grande che stai qua durante una comunione ahahahahahahah :-D
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Re: Semplice integrale

Messaggioda gugo82 » 20/05/2018, 21:53

dRic ha scritto:Ciao,

mi stavo chiedendo com'è che vanno risolti esercizio del tipo:

"Nota la funzione $g(x)$ trova $f$ tale che:

$int_0^x f = g(x)$"

Innanzitutto, osserverei due cose:

  • innanzitutto, affinché l'uguaglianza valga deve risultare necessariamente $g(0)=0$ poiché il primo membro si annulla per $x=0$;

  • seconda cosa, dato che la funzione integrale di una funzione limitata ed integrabile alla Riemann sui compatti è (assolutamente) continua, affinché l'uguaglianza valga la $g$ deve essere (assolutamente) continua.

In tali ipotesi, che garantiscono la buona posizione del problema, si può ragionare sulla possibile soluzione.

Se $g$ è una funzione di classe $C^1$, allora l'unica soluzione del problema è $f=g^\prime$.

Nel caso in cui $g$ è assolutamente continua ma non di classe $C^1$, la soluzione del problema esiste comunque ed, in un senso generalizzato, è comunque una "derivata" di $g$, che si chiama derivata debole... Ma di queste questioni ti occuperai più avanti.

Se, invece, tali ipotesi non sono soddisfatte, il problema non ammette soluzione.
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Re: Semplice integrale

Messaggioda dRic » 20/05/2018, 22:50

Grazie gugo82 per la risposta. Il mio problema sta proprio nel capire perché $g(0) = 0$. Sinceramente non ho capito la frase

gugo82 ha scritto:... poiché il primo membro si annulla per $x=0$;


Magari è qualcosa di banale, ma proprio mi sfugge il ragionamento che c'è dietro :(
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Re: Semplice integrale

Messaggioda gugo82 » 20/05/2018, 23:15

Beh, semplicemente perché:
\[
\int_0^0 f(t) \ \text{d} t = 0
\]
per definizione.
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Re: Semplice integrale

Messaggioda anto_zoolander » 20/05/2018, 23:16

$g(0)=int_(0)^(0)f(t)dt$ quindi...

Preceduto :-D
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Re: Semplice integrale

Messaggioda dRic » 20/05/2018, 23:19

Già! che sbadato che sono!

Perché dentro di me pensavo che questo non è altro che un banalissimo caso di equazione differenziale, ma mi mancava la condizione al contorno per trovare la primitiva.

Grazie mille!

Ps: generalizzando per un integrale $int_a^x f = g$ deve essere $g(a) = 0$, giusto ?
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