Un dubbio sul limite di una funzione

[Shikari]

Ciao a tutti. Oggi mentre studiavo analisi mi é sorto un dubbio. Volevo dimostrare che condizione necessaria affinché l'integrale di una funzione su una semiretta $[a,+\infty)$ converga è che:

$\lim_{x\to +\infty}f (x)=0 $

Nel fare una dimostrazione mi é sorto un dubbio, supponendo che esistano finiti i limiti di $f (x)$ e della sua derivata per $x\to+\infty $ con $f\in C^{1}([a,+\infty)) $ é lecito affermare che

$se$ $\lim_{x\to +\infty}f (x)=L \rightarrow \lim_{x\to +\infty}f' (x)=0$

?
E in caso affermativo, come lo si dimostrerebbe? Grazie a chi risponderà

[otta96]

Sono sicuro che di questa cosa se ne sia già parlato tanto sul forum, ma dato che ora mi sta fatica cercare risposte vecchie ti risponderò direttamente.
No, non puoi dirlo, puoi dire solamente che $\text{liminf}_{x->+\infty}f(x)<=0<=\text{limsup}_{x->+\infty}f(x)$, se non sai cosa sono limsup e liminf ti perdi un po' di informazione, ma si può comunque dire che SE $\lim_{x->+\infty}f(x)$ esiste, allora è $0$ (prova a dimostrarlo).
Ad ogni modo nemmeno quello che vuoi dimostrare è vero, infatti si riescono a costruire funzioni con integrale convergente addirittura limitate in ogni insieme limitato ma non limitate su tutto $[a,+\infty)$, il punto è che il modo di ottenere queste funzioni è far sì che abbiano delle oscillazioni sempre più "accentuate e veloci", di modo che dal punto di vista dell'integrale questa oscillazione conti poco (prova ad esibirne una).
Ma se aggiungi alle ipotesi che $f$ sia monotona, allora il risultato vale e non è nemmeno difficile da dimostrare (fallo).

[Shikari]

Innanzitutto ringrazio per la risposta e mi scuso se era già stato parlato di ciò sul forum ma non avevo trovato niente. Poco dopo aver scritto il post ho continuato a pensare al teorema, il quale ho trovato su una lezione di youmath, ed ho trovato un controesempio a tale condizione che é

$\int_{0}^{+\infty} sin (x^{2})\dx=\sqrt{\pi/8}$

Nel quale il limite dell'integranda per $x\to +\infty $ é indeterminato (ce ne sarebbero altri).
Conosco il massimo e minimo limite però pardon ma non ho ben capito cosa intendi quando dici che posso solo dire che massimo e minimo limite di $f (x) $ sono rispettivamente maggiore e minore di 0, prendendo come ipotesi che esista finito il limite di $f (x) $... per quanto riguarda l'assunzione che $f $ sia crescente, proverò a dimostrarlo grazie ancora per la risposta