Limite di una funzione composta

[urca]

Mi paicerebbe potervi chiedere una delucidazione su un dubbio maturato nello studio del teorema del titolo.
Riporto solo la parte dubbia delle ipotesi

Il teorema richiede tra le varie ipotesi che la funzione esterna di composizione sia continua nel valore assunto dalla funzione interna (chiamiamolo c) oppure che la funzione interna g(x) sia diversa da c per ogni valore di un certo intorno del punto x' sulle ascisse a cui tende il limite: $lim_(x->x') f(g(x))$. In tal caso se rispettata (oltre a tutte le altre) si scrive $lim_(t->c) f(t)$.
C'è una parte tuttavia che non comprendo, cioè l'ipotesi che ho riportato (grassetto), non capisco se nel caso questa ipotesi non fosse rispettata se non esisterebbe l'intero limite $lim_(x->x') f(g(x))$, oppure se esso esisterebbe ma non potrei solamente scrivere $lim_(t->c) f(t)$ (cioè operare la sostituzione).

[gugo82]

Di solito non è lecita la sostituzione, poiché il limite della funzione composta è diverso dal limite della componente esterna.
Ad esempio, se $g(x):=0$ ed $f(y):=\{ (1, ", se " y !=0), (0, ", se " y=0):}$, si ha:
\[
\lim_{x\to 0} f(g(x)) = 0 \neq 1 = \lim_{y\to 0} f(y)\;.
\]

[urca]

Grazie, cerco sempre di figurarmi degli esempi semplici ma ammetto che ancora troppo spesso non ci riesco. Mi hai chiarito il dubbio e ti ringrazio moltissimo .

Mi piacerebbe andare avanti con questo secondo post perché il dubbio è nato in realtà dopo aver studiato il teorema del limite della funzione continua, pensavo di averlo capito e poi affrontando quest'altro teorema mi è sorto il primo dubbio (di apertura) e questo secondo che vado ad esporre.

Si vuole dimostrare che derivabilità implica continuità, cioè dalla definizione di derivabilità in un punto x' si deve arrivare alla tesi: $lim_(x->x') f(x)=x'$
Il prof. parte da f(x'+h)=f(x')+f(x'+h)-f(x') e giunge dopo pochi semplici passaggi (tra cui uno in cui si ha il limite del rapportoincrementale per h a zero) a $lim_(h->0) f(x'+h)=f(x')+l*0$ e dice essendo $lim_(h->0) f(x'+h)=f(x')$ [equivalente a $lim_(x->x') f(x)=f(x')$ con h=x-x' si ha la tesi].

Il mio dubbio si pone sulla parte in parentesi quadra, poiché quel passaggio che fa a mente è in realtà l'applicazione del teorema di apertura cioè: $lim_(h->0) f(x'+h)=lim_(h->0) f(g(x))$ pongo g(x)=x cioè $x=x'+h$ faccio il limite $lim_(h->0) x'+h=x'$ e completo la sostituzione $lim_(x->x') f(x)$ MA $lim_(h->0) f(x'+h)=lim_(x->x') f(x)$ solo se è rispettata l'ipotesi che f sia continua nel punto x' (teorema di apertura), quindi io per concludere la dimostrazione avrei bisogno di una f continua che in realtà vorrei dimostrare altrimenti rimarre bloccato a $lim_(h->0) f(x'+h)$ che non è molto utile non essendo la definizione di continuità in un punto.
Insomma per dimostrare devo usare un teorema (quello della sostituzione) che richiede continuità, mi pare qualcosa mi sfugga..

[anto_zoolander]

il primo teorema è anche detto 'di sostituzione'
Il motivo del fatto che la funzione 'argomento' debba essere non uguale al limite in almeno un intorno del punto risiede nella dimostrazione stessa del teorema che ti riporto con dovute osservazioni

sia $f:A->RR$ e $g:B->RR$ tale che $g(x) in A,forallx in B$ ovvero $im(g)subseteqA$ e sia $x_0$ di acc. per $B$

- $lim_(x->x_0)g(x)=l$

- $exists r>0: g(x)nel,forallx in B(x_0,r)capB$

- $l$ di accumulazione per $A$ e $lim_(x->l)f(x)=l'$

allora $lim_(x->x_0)f(g(x))=lim_(x->l)f(x)$ ovvero $lim_(x->x_0)f(g(x))=l'$

partiamo dal fatto che $g->l$ allora per definizione di limite si avrà che

1- $forallepsilon_1>0existsdelta_1>0: forallx in B( 0<|x-x_0|<delta_1 => |g(x)-l|<epsilon_1)$

dal fatto che $l$ sia di accumulazione per $A$ e che $f->l'$ si avrà che

2 - $forallepsilon_2>0existsdelta_2>0: forallx in A( 0<|x-l|<delta_2 => |f(x)-l'|<epsilon_2)$

ora il problema risiede in $0<|x-l|<delta_2$ ma perchè?

fissato $epsilon_1=delta_2$ otteniamo che $forallx in B(0<|x-x_0|<delta_2 => |g(x)-l|<delta_2)$

ovvero che per tutti i valori del dominio che distano da $x_0$ meno di $delta_2$ e sono distinti da $x_0$, i valori $g(x)$ hanno tutti distanza da $l$ minore di $delta_2$.

a noi serve l'implicazione $0<|x-x_0|<delta_1 => 0<|g(x)-l|<delta_2 => |f(g(x))-l'|<epsilon_2$

questo poichè dalla definizione di limite la tesi la raggiungiamo se i valori $g(x)$ stanno in un intorno bucato del limite, che ci garantisce l'ultima implicazione, infatti se per qualche valore di $x in B$ si avesse che $0<|x-x_0|<delta_1 => g(x)=l$ sicuramente non si avrebbe che $0<|g(x)-l|<delta_2$ e pertanto non potremmo concludere che $|f(g(x))-l'|<epsilon_2$

quindi l'esistenza di un intorno in cui la funzione $g$ si mantenga distante dal suo limite ci assicura che $g(x)$ sta in un intorno bucato del punto dove facciamo il limite di $f$

infatti, chiaramente

$forallx in B( 0<|x-x_0|<delta_1 wedge x in B(x_0,r) => 0<|g(x)-l|<delta_2) => |f(g(x))-l'|<epsilon_2$

da cui si ha la tesi.

L'esempio che ti ha fornito gugo è perfetto per questo teorema e mostrare quanto sia necessaria quella ipotesi.

in quanto la funzione $g(x)=0,forallx in RR$ ha limite $0$ ed e coincide con il suo limite in ogni intorno di $x_0=0$

la funzione $f(x)={(0 if x=0),(1 if x ne 0):}$ invece vale costantemente uno quando si mantiene distante da $0$

la funzione $forallx in RR, f(g(x))=f(0)=0$ e $f(g(x))-> 0$

questo proprio perchè non esiste un intorno in cui la funzione $g(x)$ si mantenga distante da $0$.

passiamo al secondo esempio

è chiaro che se una funzione $f$ è derivabile in un punto $x_0$ allora si avrà che

$lim_(h->0)f(x_0+h)=lim_(h->0)[h*(f(x_0+h)-f(x_0))/h+f(x_0)]=f(x_0)$

ovvero $lim_(h->0)f(x_0+h)=f(x_0)$

dobbiamo mostrare che $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$

poniamo $g(h)=x_0+h$ per cui $lim_(h->0)g(h)=x_0$ e $x_0$ è di accumulazione per il dominio di $f$
sappiamo che $lim_(h->0)f(g(h))=f(x_0)$

abbiamo le prime due ipotesi del teorema verificate e la tesi. Ci manca soltanto la terza ipotesi ovvero che $f(x)->f(x_0)$

come concludiamo? con una riformulazione del teorema.

- $lim_(x->x_0)g(x)=l$ e $l$ di accumulazione per $dom(f)$

- $g$ si mantiene distante da $l$ in almeno un intorno di $x_0$

-$ lim_(x->x_0)f(g(x))=l'$

allora $lim_(x->l)f(x)=lim_(x->x_0)f(g(x))$

il motivo è sostanzialmente questo. Sia $l''$ il limite di $f$ in $l$ ovvero

$lim_(x->l)f(x)=l'$ allora per il teorema precedente, visto che sono verificate tutte e tre le ipotesi e per l'unicità del limite si avrà $l'=lim_(x->x_0)f(g(x))=lim_(x->l)f(x)=l''$

quindi dovrà essere $lim_(h->0)f(g(h))=lim_(x->x_0)f(x)$

dovrebbe esserci tutto

[gugo82]

Scusa, ma visto che la derivata è meglio definita dal limite:
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{ f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\; ,
\]
tutto questo da fare mi pare inutile.
Una dimostrazione semplice va così:
\[
\begin{split}
\lim_{x \to x_0} f(x) &= \lim_{x \to x_0} f(x) - f(x_0) + f(x_0) \\
&= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\ (x - x_0) + f(x_0) \\
&= f^\prime (x_0)\cdot 0 + f(x_0)\\
&= f(x_0)\; .
\end{split}
\]
Però nota bene che si può caratterizzare la continuità in $x_0$ con un limite in quanto il punto in cui calcoli la derivata è certamente di accumulazione per il dominio della $f$ (anzi, di solito è addirittura un punto interno al dominio).

[anto_zoolander]

Io mi sono basato sui dubbi dell’OP

[gugo82]

@anto: Infatti, mi stavo riferendo allo OP, non a te.

[urca]

Prima di tutto grazie mille per le spiegazioni approfondite che mi sono molto utili

Credo sia questa affermazione che mi sfuggiva e causa del dubbio

- g si mantiene distante da l in almeno un intorno di x0

Perché?


@gugo: credo tu sia un veggente, volevo infatti risolto questo dubbio chiedere se non fosse più easy quel che hai scritto tu. Ma credo sia comunque una palestra capire anche questa via. Infatti mi ha aiutato a vedere che qualcosa nel teorema di sostituzione non mi era chiarissimo. Ma stiamo andando verso la soluzione grazie a voi

Per intanto, buona giornata a tutti!

[smaccomatto]

Mi sono registrato al forum trovando su google questa pagina indicizzata. Avevo un problema con la derivata della funzione composta e qui ho trovato la spiegazione dell'utente antozoolander davvero ottima.
Volevo ringraziarlo anche da parte mia e esprimere l'apprezzamento.

Mi piacerebbe inoltre chiederti da iscritto al primo anno a ingegneria meccanica se risposte del genere ti vengano di getto o se piuttosto riguardi qualcosa sul libro per una risposta così. Lo chiedo non perché voglia farmi i fatti tuoi ma perché mi piacerebbe raffrontarmi con qualcuno più bravo di me con ammirazione e riconoscenza, sei umano o come fai?
Ci ho messo una mezz'ora buona solo a capirla tutta

Sto preparando analisi 1 ora e devo dire che sono subissato di dubbi

[anto_zoolander]

È questo il motivo per cui faccio questi post, per chi poi magari da Google trova ciò che gli serve

Fino ad ora li ho sempre scritti di getto, non guardo i libri. Al più rifaccio una dimostrazione se magari non sono certo di un passaggio ma sempre di mano mia.
Diciamo che il mio desiderio è stato quello di non sentirmi mai nella situazione di dover avere bisogno di un libro o di un formulario, mi piace pensare che possiamo arrivare a tenere tutto a mente con dei collegamenti logici.