Buona giornata a tutti, sono uno studente di Quinta di un Liceo scientifico. Oggi il professore ci ha introdotto alle Equazioni differenziali, fino alla tipologia "a variabili separabili", solamente in maniera teorica senza la risoluzione di nessun esercizio( abbiamo analizzato solo gli esempi sul libro all'interno del capitolo, senza andare nella sezione Esercizi ); dicendoci a fine ora di esercitarci a casa per domani, in cui avremo la prossima lezione. Quindi non ho avuto modo di chiedere a lui come risolvere l'esercizio che mi sta causando dubbi.
Avendo avuto nell'ultima ora di scuola una supplenza ho approfittato per iniziare subito e ho avuto un problema a risolvere un' "Equazione differenziale a variabili separabili". Da risolvere "In generale" e non "In particolare".
Equazione e procedimento da me svolto:
$ y' = y/(x^2-2x+1) $
ed essendo $ y' = dy/dx $ arrivo a ad avere
$ dy/y = dx/(x-1)^2 $
Procedendo con l'integrale indefinito
$\int dy/y = \int dx/(x-1)^2 $ ottengo $ ln( y ) = -1/(x-1) + c $
dunque ricavo $ y = e^( -1/(x-1)+ c ) = e^(-1/(x-1)) * e^c $.
Peccato che il risultato che da il libro sia $ y = c*e^(-1/(x-1)) $
So che molto spesso il libro scrive la stessa cosa in maniera diversa ( per esempio nel Capitolo degli integrali indefiniti nei risultati c'è sempre riportato $root(n)(x)$, mentre io tendo a scrivere molto più spesso $ x^(1/n )$ ), ma provando a confrontare i risultati non vedo come $ e^c = c $.
Allora ho adottato un diverso approccio, ovvero, ripartendo da
$ ln( y ) = -1/(x-1) + c $
ho provato a considerare $ c $ come $ ln(e)^c $
ottenendo dunque $ ln(y/e^c) = -1/(x-1) $
Ma esce sempre la stessa cosa.
Il punto è che ho provato, prima di scrivere qua, a far risolvere l'equazione a Symbolab.com, il quale mi da il mio stesso risultato e non quello del libro!
Ma dubito che il libro sbagli. Quindi, qualcuno potrebbe cortesemente farmi capire cosa sbaglio?
Grazie mille per il tempo dedicatomi e per le eventuali risposte, buona giornata