Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda ginkgobiloba » 21/05/2018, 15:30

Buona giornata a tutti, sono uno studente di Quinta di un Liceo scientifico. Oggi il professore ci ha introdotto alle Equazioni differenziali, fino alla tipologia "a variabili separabili", solamente in maniera teorica senza la risoluzione di nessun esercizio( abbiamo analizzato solo gli esempi sul libro all'interno del capitolo, senza andare nella sezione Esercizi ); dicendoci a fine ora di esercitarci a casa per domani, in cui avremo la prossima lezione. Quindi non ho avuto modo di chiedere a lui come risolvere l'esercizio che mi sta causando dubbi.
Avendo avuto nell'ultima ora di scuola una supplenza ho approfittato per iniziare subito e ho avuto un problema a risolvere un' "Equazione differenziale a variabili separabili". Da risolvere "In generale" e non "In particolare".

Equazione e procedimento da me svolto:

$ y' = y/(x^2-2x+1) $

ed essendo $ y' = dy/dx $ arrivo a ad avere

$ dy/y = dx/(x-1)^2 $

Procedendo con l'integrale indefinito

$\int dy/y = \int dx/(x-1)^2 $ ottengo $ ln( y ) = -1/(x-1) + c $

dunque ricavo $ y = e^( -1/(x-1)+ c ) = e^(-1/(x-1)) * e^c $.

Peccato che il risultato che da il libro sia $ y = c*e^(-1/(x-1)) $

So che molto spesso il libro scrive la stessa cosa in maniera diversa ( per esempio nel Capitolo degli integrali indefiniti nei risultati c'è sempre riportato $root(n)(x)$, mentre io tendo a scrivere molto più spesso $ x^(1/n )$ ), ma provando a confrontare i risultati non vedo come $ e^c = c $.
Allora ho adottato un diverso approccio, ovvero, ripartendo da

$ ln( y ) = -1/(x-1) + c $

ho provato a considerare $ c $ come $ ln(e)^c $

ottenendo dunque $ ln(y/e^c) = -1/(x-1) $
Ma esce sempre la stessa cosa.

Il punto è che ho provato, prima di scrivere qua, a far risolvere l'equazione a Symbolab.com, il quale mi da il mio stesso risultato e non quello del libro!
Ma dubito che il libro sbagli. Quindi, qualcuno potrebbe cortesemente farmi capire cosa sbaglio?
Grazie mille per il tempo dedicatomi e per le eventuali risposte, buona giornata
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda dRic » 21/05/2018, 15:59

ginkgobiloba ha scritto:dunque ricavo $y=e^{−1/{x−1}+c}=e^{−1/{x−1}}⋅e^c$.

Peccato che il risultato che da il libro sia $y=c⋅e^{−1/{x−1}}$


$e^c$ è un numero qualsiasi perché $c$ è un numero qualsiasi. Se chiami $e^c = k$ ottieni $y =y=k⋅e^{−1/{x−1}}$
che è uguale alla soluzione del libro. Ti sei slo confuso per via della notazione ambigua, ma il risultato è corretto! ;)
dRic
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda anto_zoolander » 21/05/2018, 17:26

Ci sono un paio di errori e sviste di cui secondo me dovresti tener conto.

$•$ deve essere $xne-1$ quindi qualsiasi sia la soluzione, non sarà definita in $x=-1$

$•$ la funzione costantemente nulla su $RRsetminus{0}$ è soluzione.

$•$ da $int1/ydy=int1/(x-1)^2dx=>ln|y|=1/(1-x)+c$ da cui

$|y|=e^(1/(1-x)+c) => y=pm e^c *e^(1/(1-x))$

Dunque l’insieme delle soluzioni è dato dalla seguente Unione

$S={y(x)=0,forallx inRRsetminus{0}}cup{y=pme^c*e^(1/(1-x)),forallx inRRsetminus{0}}$

Considerando che la funzione $y=e^x$ è una biiezione da $RR->RR^(>)$

Pertanto ponendo $e^c=k$ posso scrivere la soluzione generale come $y=k*e^(1/(1-x))$ ottengo tutte le soluzioni al variare di $k$ per $x inRRsetminus{0}$

Mentre nella tua soluzione senza considerare $|y|$ ottenevi soltanto le soluzioni per $kgeq0$
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda ginkgobiloba » 21/05/2018, 18:57

Avevo pensato al fatto che fosse $ k=e^c $, solo che così facendo non avrebbe potuto prendere ogni valore in quanto avrei avuto soluzioni solo per $ K>0 $
Però appunto, avevo commesso l'errore nell'omettere il valore assoluto, che avrebbe cambiato tutto e non mi avrebbe fatto porre il quesito. Grazie mille, davvero!

( Ero consapevole della svista che X dovesse essere diverso da -1, quando li risolvo in verifica o sul quaderno sono molto più attento :D )
Comunque, se ci sarà, la prossima volta che porrò un quesito scriverò tutto evitando di omettere Dominio della funzione o cose che inopportunamente avevo considerato non importanti al fine del quesito. Così come chiarirò il fatto che avevo avuto l'ipotesi della K.
Scusate, sarò più completo ed esaustivo la prossima volta

Grazie mille ancora :)
Ultima modifica di ginkgobiloba il 21/05/2018, 19:04, modificato 1 volta in totale.
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda ginkgobiloba » 21/05/2018, 19:01

anto_zoolander ha scritto:
$•$ la funzione costantemente nulla su $RRsetminus{0}$ è soluzione.



Ad essere sincero, non ho capito bene questo punto, potresti spiegare?
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda dRic » 21/05/2018, 20:49

y = 0 è una soluzione particolare (che si verifica quando k = 0)
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda ginkgobiloba » 21/05/2018, 21:31

dRic ha scritto:y = 0 è una soluzione particolare (che si verifica quando k = 0)


Scusate la domanda stupida, ma $ K = 0 $, significa che $ e^c = 0 $ e ciò, vale "Per nessuna" $ c in RR$ ( scusate non trovo come scrivere Per ogni/Per nessuna ecc..)..quindi non sarebbe ammessa come soluzione(?)
Il nostro Prof. ci ha sempre detto che un'esponenziale uguale a zero ha senso solo nell'algebra dei limiti, per determinare un asintoto orizzontale. Questo perché il Limite è un concetto astratto, così come Infinito; e un "Limite", a meno che non tenda a $ l $, non da un "vero e proprio risultato". Oddio, so che anche 2 è un concetto, ma senza scendere in discussione filosofiche capite cosa intendo dicendo che il concetto di due 2 è "meno astratto" del concetto di $\lim_{n \to \infty}x_n$ ?
Voglio dire, di per sé, la funzione non varrà mai zero in realtà. $\lim_{c \to \-infty}e^c = 0 $ significa che mi avvicinerò sempre di più allo 0, ma di per sé non lo raggiungerò mai e che ci saranno infiniti valori tra lo $ 0 $ "puro" e lo $ 0^+ $ ; capisco benissimo il concetto. Ma non capisco come si faccia ad includerlo come risultato dell'equazione
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda anto_zoolander » 21/05/2018, 21:39

Accorpi semolimente le tre soluzioni

$y(x)=0$
$y(x)=ke^(1/(1-x)),k>0$
$y(x)=ke^(1/1(1-x)),k<0$

Nella soluzione $y(x)=ke^(1/(1-x)),k inRR$
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda dRic » 22/05/2018, 00:07

Scusami mi sono espresso male nella mia prima risposta, e @anto_zoolander mi ha corretto subito:

$k$ non è $e^c$, $k$ è una costante che può assumere i valori di $+- e^c$ e il valore nullo ($k=0$) quindi, poiché $+-e^c$ può assumere tutti i valori ad eccezioni di $0$, e siccome zero lo includiamo "a parte", allora possiamo dire che $k$ è un qualsiasi numero.

Dobbiamo includere il valore $k=0$ nella definizione perché se prendi la funzione $y = 0$ e la vai a sostituire nell'equazione di partenza ottieni comunque un'identità (quindi verifichi che è soluzione).


PS: @anto_zoolander, ci faccio caso adesso, ma questo nome è un riferimento "velato :-D :-D " ad un capolavoro del cinema moderno ??!!
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Re: Equazione differenziale. Aiuto per favore

Messaggioda anto_zoolander » 22/05/2018, 00:37

@dRic
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
è un film che ho particolarmente a cuore :-D ad eccezione dello scivolone fatto producendo il secondo film :-D
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