dissonance ha scritto:Fammeli un po' vedere questi "qualche conto e qualche derivata", per favore.
Bisogna mostrare che $f$ è una biiezione. Per ogni punto di $S^1$ mostro che esiste un unico \( \mathbf{x} \in \partial \Omega \) che ne è l'immagine attraverso $f$.
Ogni punto di $S^1$ è identificato dall'angolo $\theta \in [0,2pi)$ con cui si parametrizza la circonferenza unitaria.
Sia dunque $\theta \in [0,2pi)$ fissato.
I casi banali \( \theta =0 , \pi/2, \pi, 3\pi/2 \):
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Caso 1: \( \theta = 0 \)
La semiretta da considerare è \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y=0, x>0 \} \).
\[ \begin{cases} y=0, x>0 \\ x^4 +y^6+xy=16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=0 \\ x= 16^{1/4} \end{cases} \]
Caso 2: \( \theta = \pi/2 \)
La semiretta da considerare è \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x=0, y>0 \} \).
\[ \begin{cases} x=0, y>0 \\ x^4 +y^6+xy=16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y= 16^{1/6} \end{cases} \]
Caso 3: \( \theta = \pi \)
La semiretta da considerare è \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y=0, x<0 \} \).
\[ \begin{cases} y=0, x<0 \\ x^4 +y^6+xy=16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=0 \\ x= -16^{1/4} \end{cases} \]
Caso 4: \( \theta = 3\pi/2 \)
La semiretta da considerare è \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x=0, y<0 \} \).
\[ \begin{cases} x=0, y<0 \\ x^4 +y^6+xy=16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y= -16^{1/6} \end{cases} \]
Caso 5: \( \theta \in (0, \pi/2 ) \cup (3\pi/2, 2\pi) \)
La semiretta da considerare è \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y= \arctan(\theta)x , x>0 \} \)
Chiamo per comodità \( m:= \arctan(\theta) \).
\[ \begin{cases} y=mx, x>0 \\ x^4 +y^6+xy=16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=mx, x>0 \\ x^4+m^6x^6+mx^2-16=0 \end{cases} \]
Cioè vogliamo mostrare che la funzione \( g(x) :=x^4+m^6x^6+mx^2-16 \) ha un solo zero positivo per qualunque valore di \( m \in \mathbb{R} \setminus \{0 \} \) fissato:
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In tutto il seguito dello spoiler, per lo studio di $g$, mi limito al solo intervallo \( (0, +\infty) \).
Si ha che $g$ è continua, $g(0)=-16$ e $\lim_{x \to \infty} g(x) = +\infty$.
\[ g'(x) = 4x^3+6m^6x^5+2mx \Rightarrow \Biggl [ g'(x) \ge 0 \Leftrightarrow 3m^6x^4+2x^2+m \ge 0 \Biggr ] \]
La funzione \( h(t) = 3m^6t^2+2t+m \) (da studiarsi solo per $t>0$) ha come grafico una parabola con concavità verso l'alto e vertice di ascissa sempre negativa ( \( \frac{-1}{3m^6} \) ). Dunque i casi sono due: o il vertice ha ordinata non negativa o ha ordinata negativa.
Nel caso in cui il vertice abbia ordinata non negativa allora la funzione $h(t)$ è sempre positiva e dunque lo è anche la derivata di $g$ e dunque $g$ interseca l'asse $x$ in un solo punto di ascissa positiva.
Nel caso in cui il vertice abbia ordinata negativa si avrebbero due ulteriori sottocasi:
1. Il punto di intersezione della parabola con l'asse delle $x$ ha ascissa non positiva: in tale caso si avrebbe che $h(t)>0$ per ogni $t\ge 0$ e dunque anche per ogni $x>0$. Allora la derivata di $g$ è sempre positiva e dunque $g$ interseca l'asse $x$ in un solo punto di ascissa positiva.
2. Il punto di intersezione della parabola con l'asse delle $x$ ha ascissa positiva: chiamo tale punto di intersezione $t_0>0$. Allora si ha che
\[ \begin{cases} h(t) \le 0 \quad \text{se} \quad 0 \le t \le t_0 \\ h(t) \ge 0 \quad \text{se} \quad t \ge t_0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} g'(x) \le 0 \quad \text{se} \quad 0 \le t \le \sqrt{t_0} \\ g'(x) \ge 0 \text{se} \quad x \ge \sqrt{t_0} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} g(x) \quad \text{è decrescente in } [0, \sqrt{t_0}] \\ g(x) \quad \text{è crescente in } [\sqrt{t_0}, +\infty) \end{cases}
\]
Dunque $g$ sarà sempre strettamente negativa in $[0, \sqrt{t_0}]$ e crescente in \( (t_0, + \infty) \) e quindi $g$ interseca l'asse delle $x$ in un solo punto di ascissa positiva (anzi, maggiore di $\sqrt{t_0}$).
Caso 6: \( \theta \in (\pi/2, \pi) \cup (\pi, 3\pi/2) \)
La semiretta da considerare è \( \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y= \arctan(\theta)x , x<0 \} \)
Chiamo per comodità \( m:= \arctan(\theta) \).
\[ \begin{cases} y=mx, x<0 \\ x^4 +y^6+xy=16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=mx, x<0 \\ x^4+m^6x^6+mx^2-16=0 \end{cases} \]
Cioè vogliamo mostrare che la funzione \( g(x) :=x^4+m^6x^6+mx^2-16 \) ha un solo zero negativo per qualunque valore di \( m \in \mathbb{R} \setminus \{0 \} \) fissato. La funzione $g$ è pari e dal caso 3 abbiamo che ha un solo zero positivo, quindi ha anche solo uno zero negativo.
dissonance ha scritto:Certamente, e con la tua stessa dimostrazione (ottima idea).
Grazie
dissonance ha scritto: Solo che \( f(x, y)=x^4+y^6+xy \) non è una funzione convessa, perché nell'origine ha un punto di sella "stretto" (voglio dire che la matrice Hessiana ha un autovalore strettamente positivo e uno strettamente negativo). Quindi non è ovvio che \( \{f\le 16\} \) sia un insieme convesso. Non so neanche se sia vero (tra l'altro, vedo che sei arrivato alla stessa conclusione un paio di post fa).
Ma in realtà non ho mai sfruttato direttamente il fatto che sia convesso, cosa che mi pare vera in ogni caso.
@Lebesgue
Guarda io non sono un matematico quindi non saprei che consigli darti di preciso. Credo che ogni esercizio sia un po' un caso a sé e se c'è da sporcarsi le mani (come in questo) si fa.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
