Problema di Cauchy:esistenza,unicità e intervalli massimali.

[mklplo]

Grazie per aver risposto,ma se sono così difficili i problemi,come ci si aspetta che uno studente di analisi 2 riesca a risolverli?

[axpgn]

Se mi posso permettere, il senso del post di gugo82 è da un lato la sottolineatura che occorre un'adeguata preparazione per affrontare ogni cosa (per le Olimpiadi occorre una preparazione ed una capacità diversa da quelle per il torneo dei bar) e dall'altro che gli esercizi non sono fatti per essere risolti ma per imparare ...

Cordialmente, Alex

[mklplo]

Oggi ho provato a verificare se il seguente problema di Cauchy ammettesse un'unica soluzione locale e poi ho provato a trovare l'intervallo massimale.
\( \begin{cases} \dot{y}=y-\frac{1}{t} \\ y(1)=b \space (b>0) \end{cases} \)
Allora dato che la funzione è $C^1(IxxJ)$(dove $IxxJ=[1-a,1+a]xx{|y-b|<=c}$ con $c>=0$,$0<=a<1$) ammette un'unica soluzione locale(giusto?).Per quanto riguarda l'intervallo massimale,dato che il problema di Cauchy ammette soluzione in ogni intervallo $[k,+oo)$ con $k>0$(giusto?),allora l'intervallo massimale è $(0,+oo)$(giusto?).Ora a voler fare uno studio qualitativo so che se \( y>\frac{1}{t} \) allora \( \dot{y}>0 \rightarrow y>b \) e quindi la funzione è crescente(giusto?),mentre \( y<\frac{1}{t} \rightarrow \dot{y}<0 \rightarrow y<b \) e quindi è decrescente(giusto?),infine sappiamo che se la funzione ammette punti stazionari essi appartengono all'intersezione tra $y(t)$,$1/t$ e la retta $y=b$(giusto?).
Non so se lo studio è fatto bene,ma io non saprei che altro si potrebbe fare.Se non vi reca disturbo,potreste dirmi se almeno in parte l'esercizio è fatto bene?

[mklplo]

@axpgn:
Grazie per aver risposto.
Sul fatto che gli esercizi servono per imparare siamo d'accordo,per questo ci tengo tanto a capire almeno come fare un esercizio;inoltre quale altra preparazione servirebbe prima di arrivare a fare uno studio qualitativo di un problema di Cauchy?

[axpgn]

Purtroppo io non posso esserti d'aiuto su questi argomenti ma teoricamente dovrebbe essere sufficiente ciò che uno ha studiato prima di arrivare a quel punto; se non ci si riesce forse si dovrebbe fare un passo indietro e rivedere qualche capitolo precedente od anche qualche libro prima ancora ...

[mklplo]

Grazie per la risposta.
I teoremi il libro spiega li ho scrotto,e mi è stato detto che non li ho capiti bene,perciò vorrei capirli(anche per questo ho aperto questo discussione);poi non so se sono necessarie altre conoscenze,ma spero di acquisirle in questa discussione(rimanendo sempre nell'ambito di analisi II,perché oltre veramente non ci capirei più niente).

[gugo82]

Vogliamo studiare il PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = \arctan y(x) - \frac{1}{x}\\
y(1) = b
\end{cases}\; .
\]

1. Esistenza ed unicità (locale e globale) della soluzione.

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Il secondo membro della EDO, i.e. la funzione $f(x,y) := arctan y - 1/x$ è definita e di classe $C^oo$ in $Omega := (RR \setminus \{0\}) xx RR$, dunque siamo in regime di esistenza ed unicità locali.
Inoltre, visto che $|f(x,y)| <= 1/(|x|) + |y|$ nel suo insieme di definizione, vale il teorema di estensione globale, il quale assicura che la soluzione massimale $y(x) := y(x; 1,b)$ del PdC assegnato è definita su tutto l’intervallo $]0,+oo[$.
Più in generale, che la soluzione massimale $y(x;a,b)$ del PdC con condizione iniziale $y(a)=b$ è definita nel più grande intervallo contenente l'ascissa iniziale $a$ che si trova in $RR\setminus \{ 0\}$ (i.e., $]-oo,0[$ se $a<0$, oppure $]0,+oo[$ se $a>0$).

2. Regolarità della soluzione massimale.

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Visto che il secondo membro della EDO è di classe $C^oo$, la soluzione massimale $y(x)$ è anch’essa di classe $C^oo$ lì dove definita.

3. Monotònia e convessità della soluzione massimale.

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Dato che ci interessa una soluzione massimale definita in $]1,+oo[$, d'ora in avanti consideriamo il secondo membro (e dunque l'equazione) come definito in $Omega = ]0,+oo[ xx RR$.
Visto che $f(x,y)>0$ [risp. $<0$, $=0$] in $Omega^+ := \{ x > 1/(arctan y) >0\}$ [risp. $Omega^(-) := \{ 0<x<1/(arctan y)\} uu \{ x>0>y\}$, $Omega^0 = \{ x = 1/(arctan y), y>0\}$], la soluzione massimale è strettamente crescente [risp. strettamente decrescente] nell'intervallo in cui il suo grafico giace in $Omega^+ uu Omega^0$ [risp. $Omega^- uu Omega^0$].
Conseguentemente, l'eventuale punto in cui il grafico della soluzione massimale $y(x)$ interseca la regione $Omega^0$ è un punto di minimo assoluto per $y(x)$.

Derivando m.a.m. la EDO otteniamo:
\[
y^{\prime \prime} (x) = \frac{y^\prime (x)}{1+y^2 (x)} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 \arctan y(x) - x + (1+y^2(x))}{x^2 (1+y^2(x))}
\]
e da ciò si potrebbe studiare la convessità delle soluzioni massimali; in particolare, le soluzioni massimali sono strettamente convesse negli (eventuali) intervalli del proprio dominio in cui il loro grafico entra nella zona $Omega^uu := \{ x>0, x^2 \arctan y - x + (1+y^2) >= 0\}$ e strettamente concave in $Omega^\cap := \{ x>0, x^2 \arctan y - x + (1+y^2) <= 0\}$; i punti di flesso (eventuali) cadono sulla curva $Gamma$ di equazione implicita $x^2 \arctan y - x + (1+y^2) = 0$.
[Dato che le disuguaglianze che limitano tali regioni sono di secondo grado in $x$, esse possono essere esplicitate; in tal modo si trova che le zone di convessità/concavità sono delimitate da due grafici di funzioni del tipo $x=\phi (y)$... Ma lascio volentieri ad altri i conti.]
Per $b>= tan 1$, la $y(x)$ prende un mimino assoluto positivo che chiamo $y_0=tan (1/x_0)$ in un punto $0<x_0<=1$; dunque $y(x)>= y_0$ per $x>=x_0$. Da ciò e dalla monotònia di $arctan$ segue che $y^\prime (x) >= 1/x_0 - 1/x$ e perciò:
\[
y^{\prime \prime} (x) \geq \frac{\frac{1}{x_0} - \frac{1}{x}}{1+y^2 (x)} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x_0 Y} - \frac{1}{xY} + \frac{1}{x^2}\; ,
\]
in cui ho posto, per comodità $Y=1+y^2(x) >= 1$. Visto come funzione di $x$, l'ultimo membro ha minimo assoluto preso in $x=2Y$; dunque:
\[
y^{\prime \prime} (x) \geq \frac{1}{x_0Y} - \frac{1}{4Y^2} = \frac{4Y - x_0}{4x_0Y^2} \geq \frac{4-x_0}{4x_0Y^2} >0
\]
dunque le soluzioni che hanno $b>= tan 1$ sono strettamente convesse.
Probabilmente, si potranno fare contarielli simili per provare che le soluzioni con $b<=0$ sono strettamente concave per $x$ "grande"... Ma non conviene provarci.

4. Esistenza dei limiti della soluzione massimale agli estremi del dominio.

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La monotònia di $y(x)$ assicura che esistono i due limiti agli estremi del dominio, i.e. $\lim_{x\to 0^+} y(x)$ e $\lim_{x\to +oo} y(x)$.

Vediamo cosa accade per $x \to 0^+$.
Per noti fatti, il grafico di $y(x)$ deve avvicinarsi alla frontiera di $Omega$, cioè all'asse $y$. Dato che $arctan y <= pi/2$, dalla EDO si ricava la maggiorazione:
\[
y^\prime (x) \leq \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x}\; ;
\]
dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, per monotònia dell'integrale, otteniamo:
\[
\int_x^1 y^\prime (t)\ \text{d} t \leq \int_x^1 \left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{t}\right)\ \text{d} t
\]
ossia \(b-y(x)\leq \frac{\pi}{2}(1-x) + \log x\) da cui:
\[
y(x) \geq \frac{\pi}{2} (x-1) + b - \log x\; ;
\]
dal Teorema del Confronto segue che $y(x;1,b)\to +oo$ quando $x-> 0^+$ per ogni $b in RR$; dunque la retta di equazione $x=0$ è asintoto verticale verso l'alto per ogni soluzione del PdC.

Vediamo cosa accade in $+oo$. Se supponiamo che:
\[
\lim_{x\to +\infty} y(x) = l \in \mathbb{R}\; ,
\]
per il Teorema dell'Asintoto dovremmo avere $\lim_{x\to +oo} y^\prime (x) = 0$; d'altro canto, sfruttando la EDO otteniamo:
\[
\lim_{x\to +\infty} y^\prime (x) = \lim_{x\to +\infty} \arctan y(x) - \frac{1}{x} = \arctan l
\]
e dal Teorema di Unicità del Limite ricaviamo $l=0$ come unico possibile limite di $y(x;1,b)$ in $+oo$ per ogni $b in RR$. Tuttavia osserviamo che l'eventualità $\lim_{x\to +oo} y(x;1,b)=0$ non può essere vera né se $b >= tan1$, né se $b<= 0$: invero, nel primo caso $y(x)$ è crescente in $[1,+oo[$ (poiché il suo grafico cade in $Omega^+ u Omega^0$ a destra di $1$) e dunque:
\[
\lim_{x\to +\infty} y(x) = \sup_{x\geq 1} y(x) \geq y(1) = b \geq \tan 1 > 0
\]
e ciò, unito alla esistenza del limite, implica necessariamente che $y(x;1,b)\to +oo$; analogamente, nel secondo caso $y(x)$ è strettamente decrescente in $[1,+oo[$ (poiché il suo grafico cade in $Omega^- uu Omega^0$ a destra di $1$) e perciò scelto $delta >0$ "piccolo":
\[
\lim_{x\to +\infty} y(x) = \inf_{x\geq 1+\delta } y(x) \leq y(1+\delta) < y(1) = b \leq 0
\]
e ciò, unito all'esistenza del limite, implica necessariamente $y(x;1,b)\to -oo$.
Ne viene che l'unico caso in cui ci può essere convergenza a $0$ per $x\to +oo$ per $y(x;1,b)$ è $0<b<tan 1$... Tuttavia, ancora non possiamo essere certi che ciò avvenga.¹

5. Altre proprietà.

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Non mi ci addentro; tuttavia, osservo che per $x\to +oo$ e nei casi in cui $y(x)$ diverge, la derivata prima tende a $+- pi/2$. Dunque il grafico delle soluzioni potrebbe essere dotato di asintoto obliquo in $+oo$ con coefficiente angolare $m=pi/2$ (se $y(x)\to +oo$) o $m=-\pi/2$ (se $y(x)\to -oo$)... Però, come detto, non mi va di sprecare altro tempo a far conti.

---

Note

1. E, se devo dire la mia, il latto che $\lim_{x\to +oo} y(x) = 0$ non si verifica per nessun valore di $b$... Checché ne dica l'ultimo punto dell'esercizio. ↑

[gugo82]

Non che non voglia,il punto è che tutti gli esercizi del libro sono equazioni non lineari(per quanto riguarda esistenza,unicità e prolungabilità) e non si possono separare le variabili (per non parlare che in tutti le condizioni iniziali dipendono da un parametro),quindi volevo provare a fare almeno il primo problema di Cauchy proposto(che sarebbe proprio questo problema).

Che libro è?

Ad ogni buon conto, come suggeriva il prof. Spagnolo nel testo citato, lo studio qualitativo è difficile perchè molto "tecnico": in altri termini, visto che i risultati generali sono relativamente pochi, bisogna aver compreso a fondo le tecniche di base dell'Analisi già solo per provare ad affrontare qualche esercizio.
Questo è un fatto vero, in generale, per ogni tipo di equazione differenziale la cui risoluzione "esplicita" non sia possibile.

Allora,domani,proverò a fare risolvere un problema di Cauchy lineare (ma non a variabili separabili) e provo a postarlo sperando che riesca a farlo bene e poi passo al problema originale (sempre se questo non va contro le regole del forum).

Questo è un approccio più sensato.
Le EDO lineari si possono studiare qualitativamente, ma possono anche essere risolte in maniera "esplicita" (se non ci metti termini noti "brutti"): in tal modo puoi usare le soluzioni esplicite per controllarti lo studio qualitativo.
Altra classe di EDO utile allo scopo, per la stessa ragione, è quella "a variabili separabili" (a patto che non ci siano termini "brutti" e che la risoluzione esplicita sia possibile).

[gugo82]

Oggi ho provato a verificare se il seguente problema di Cauchy ammettesse un'unica soluzione locale e poi ho provato a trovare l'intervallo massimale.
\( \begin{cases} \dot{y}=y-\frac{1}{t} \\ y(1)=b \space (b>0) \end{cases} \)
Allora dato che la funzione è $C^1(IxxJ)$(dove $IxxJ=[1-a,1+a]xx{|y-b|<=c}$ con $c>=0$,$0<=a<1$) ammette un'unica soluzione locale(giusto?).Per quanto riguarda l'intervallo massimale,dato che il problema di Cauchy ammette soluzione in ogni intervallo $[k,+oo)$ con $k>0$(giusto?),allora l'intervallo massimale è $(0,+oo)$(giusto?).

Sì.
L'esistenza "in grande" è garantita dal fatto che le EDO lineari soddisfano stime sublineari in $y$.

Ora a voler fare uno studio qualitativo so che se \( y>\frac{1}{t} \) allora \( \dot{y}>0\) \(\color{red}{\rightarrow y>b} \) quindi la funzione è crescente(giusto?)

Dove?

[...] mentre \( y<\frac{1}{t} \rightarrow \dot{y}<0\) \(\color{red}{\rightarrow y<b} \) e quindi è decrescente(giusto?)

Dove?

[...] infine sappiamo che se la funzione ammette punti stazionari essi appartengono all'intersezione tra il grafico di $y(t)$ e la curva di equazione $y=1/t$ e \(\color{red}{y=b}\) (giusto?).

Alcune correzioni in grassetto, in rosso le parti inutili.

Non so se lo studio è fatto bene,ma io non saprei che altro si potrebbe fare.Se non vi reca disturbo,potreste dirmi se almeno in parte l'esercizio è fatto bene?

Che altro...
Regolarità della soluzione?
Esistenza di asintoti (orizzontali, obliqui, verticali)?
Convessità e concavità delle soluzioni?

Poi, fai i conti e trova la soluzione esplicita della EDO, disegnane il grafico e controlla i risultati.

[mklplo]

@gugo82:Grazie per lo studio dettagliato del problema;sei un genio o tutti i laureati in matematica riescono a fare studi del genere?
Comunque,il libro è il Pagani-Salsa Analisi Matematica vol 2(1991),e il primo esercizio su un problema di Cauchy che riguarda gli intervalli massimali e dove non compaiono troppi parametri è l'esercizio 10 a pag 222(cioè questo).
p.s:Per curiosità,esiste un metodo che non richieda conoscenze superiori a quelle di uno studente di analisi 2 per capire se un'equazione ammette o meno soluzione esplicita?