esercizio con derivata

Messaggioda cri98 » 12/06/2018, 22:59

un bicchiere di metallo(senza tappo) ha forma cilindrica. siano r il raggio di base e h l'altezza. se S indica la superficie totale del metallo usato e V il volume totale del bicchiere, trovare fissato V, quale può essere la sua superficie minima.

come devo procedere?
dove calcolare una derivata?
se oltre alla superficie minima voglio calcolare quella massima come devo procedere?

grazie a tutti!
cri98
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Re: esercizio con derivata

Messaggioda axpgn » 12/06/2018, 23:52

Definisci una funzione che ti dia la superficie in funzione del volume.
Quindi trovi il minimo di questa funzione usando le derivate (meccanismo che dovresti conoscere visto che stai facendo questi esercizi)
Prova a trovare il massimo con lo stesso metodo (sempreché esista ...)
axpgn
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Re: esercizio con derivata

Messaggioda pilloeffe » 12/06/2018, 23:55

Ciao cri98,

Si tratta di un classico problema di minimo "evergreen"... :wink:

La superficie di base del bicchiere (cilindro) è $ S_b = \pi r^2 $, mentre la superficie laterale è $S_l = 2\pi r h $
Dato che $ V = \pi r^2 h \implies S_l = frac{2V}{r} $
In definitiva la superficie totale da minimizzare è la seguente:

$S(r) = S_b + S_l = \pi r^2 + frac{2V}{r} $

Quindi si ha:

$S'(r) = 2\pi r - frac{2V}{r^2} = 2 \cdot frac{\pi r^3 - V}{r^2} $

Per studiare il segno della derivata prima $S'(r) > 0 $, essendo il denominatore sempre positivo, basta studiare il segno del numeratore e non è difficile scoprire che la funzione superficie totale $S(r) $ presenta un minimo per $r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
Per $r = r_min $ poi si trova $ h_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} = r_min $

Concludendo si può dire che fra tutti i bicchieri aventi lo stesso volume $V$, quello che ha la superficie minima è quello con altezza uguale al raggio: $ h_min = r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
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Re: esercizio con derivata

Messaggioda Vulplasir » 12/06/2018, 23:56

COSA DIAMINE E' UN BICCHIERE DI METALLO SENZA TAPPO
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Re: esercizio con derivata

Messaggioda feddy » 13/06/2018, 00:54

@Vulplasir
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
l'ho letto con la voce di Marge
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Re: esercizio con derivata

Messaggioda cri98 » 13/06/2018, 14:52

pilloeffe ha scritto:Ciao cri98,

Si tratta di un classico problema di minimo "evergreen"... :wink:

La superficie di base del bicchiere (cilindro) è $ S_b = \pi r^2 $, mentre la superficie laterale è $S_l = 2\pi r h $
Dato che $ V = \pi r^2 h \implies S_l = frac{2V}{r} $
In definitiva la superficie totale da minimizzare è la seguente:

$S(r) = S_b + S_l = \pi r^2 + frac{2V}{r} $

Quindi si ha:

$S'(r) = 2\pi r - frac{2V}{r^2} = 2 \cdot frac{\pi r^3 - V}{r^2} $

Per studiare il segno della derivata prima $S'(r) > 0 $, essendo il denominatore sempre positivo, basta studiare il segno del numeratore e non è difficile scoprire che la funzione superficie totale $S(r) $ presenta un minimo per $r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
Per $r = r_min $ poi si trova $ h_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} = r_min $

Concludendo si può dire che fra tutti i bicchieri aventi lo stesso volume $V$, quello che ha la superficie minima è quello con altezza uguale al raggio: $ h_min = r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $


ciao, pilloeffe
guardando i calcoli mi è tutto più chiaro, però non ho capito come dalle derivata prima ottengo rmin?
come soluzioni mi vengono proposte:
1) $3 root(3)(piV^2) $
2) $ 4root(3)(piV^2) $
3) $ 2root(3)(piV^2) $
4) $ root(3)(piV^2) $
5)nessuna delle precedenti
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Re: esercizio con derivata

Messaggioda pilloeffe » 13/06/2018, 15:39

cri98 ha scritto:guardando i calcoli mi è tutto più chiaro, però non ho capito come dalle derivata prima ottengo rmin?

Devi vedere quando la derivata prima è maggiore di $0 $, cioè

$ \pi r^3 - V > 0 \iff (root[3]{\pi} r)^3 - (root[3]{V})^3 > 0 \iff (root[3]{\pi} r - root[3]{V})[(root[3]{\pi} r)^2 + root[3]{\pi V} r + (root[3]{V})^2] > 0 $

Il trinomio fra parentesi quadre è sempre positivo, quindi è sufficiente studiare il binomio fra parentesi tonde:

$ root[3]{\pi} r - root[3]{V} > 0 \implies r > root[3]{frac{V}{\pi}} = r_{min} $

Anche se non l'hai scritto, le soluzioni proposte sono quelle per la superficie totale, quindi occorre verificare cosa diventa $ S(r) $ per $r = r_{min} = root[3]{frac{V}{\pi}} $:

$ S(r_min) = \pi r_{min}^2 + \frac{2V}{ r_{min}} = \pi \root[3]{\frac{V^2}{\pi^2}} + \frac{\root[3]{8V^3}}{\root[3]{\frac{V}{\pi}}} = \root[3]{\pi V^2} + \root[3]{8\pi V^2} = 3 \root[3]{\pi V^2} $

Pertanto la risposta corretta è la 1).
pilloeffe
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Re: esercizio con derivata

Messaggioda cri98 » 14/06/2018, 15:10

grazie pilloeffe adesso è tutto più chiaro
cri98
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