Durante una gara di tiro, come in figura, un piattello di massa M = 0.2 kg viene sparato da terra con un alzo di 30° e con una velocità $V_0 = 40 \frac{m}{s}$. Nell’istante in cui esso raggiunge la massima altezza viene centrato da un proiettile di massa m = 10 g che sta viaggiando in direzione verticale verso l’alto con velocità istantanea v = 200 m/s. Il proiettile si conficca nel piattello. Supponendo trascurabili gli effetti dell’attrito con l’aria, calcolare:
a)
l’altezza, rispetto al suolo, del piattello al momento dell’urto;
b)
la velocità di bocca $v_0$ del proiettile al momento dello sparo da terra;
c)
la velocità del sistema (piattello + proiettile) immediatamente dopo l’urto;
d)
l’energia meccanica dissipata dalle forze d’attrito durante l’urto;
e)
l’altezza massima raggiunta dal sistema nel moto successivo all’urto;
f)
la distanza, rispetto al punto di lancio del piattello, alla quale il sistema tocca terra;
g)
la velocità vettoriale di impatto del sistema con il suolo.
Svolgimento
a) L'altezza al momento dell'urto, stando ai dati del testo, è l'altezza massima raggiunga dal piattello, perciò è sufficiente ricavare l'altezza massima del suo moto, che si ricava facilmente essere
$[H_{\text{max}}= \frac{V_{0}^{2} \sin(\alpha)}{2g}]$
ed è raggiunta per $\bar{t}=\frac{V_{0} \sin(\alpha)}{g}$.b) Innanzitutto la legge del proiettile è $y(t)=v_{0} t - \frac{1}{2} g t^2$. (ora $v_{0}$ è la velocità di bocca del proiettile ed è l'incognita).
Poiché il proiettile viene colpito a $\bar{t}$, deve essere che
$[y(\bar{t})=H_{\text{max}}]$
. Si ricava quindi che $[\vec{v_{0}}= V_{0} \sin(\alpha) \mathbf{j}]$
c) assumendo l'urto centrale vale la conservazione della quantità di moto del sistema. Inoltre, essendo perfettamente anelastico (il proiettile si conficca nel piattello) vale
$(M+m) \vec{v_{CM}} = 0 \mathbf{j} + M V_{0} \cos(\alpha) \mathbf{i}$
Da cui:
$[v_{CM,x}= frac{M}{M+m} V_{0} \cos(\alpha)]$
$[v_{CM,y}= 0$
d) L'energia dissipata durante l'urto è data da $E_{diss}= E_{k,d} - E_{k,p}=\frac{1}{2} (M+m) v_{CM}^2 - \frac{1}{2}M (V_0 \cos(\alpha))^2 $ (E' corretto non considerare l'emergia cinetica del proiettile, dal momento che appena prima dell'urto il proiettile è fermo?)
e) Qui si usa la conservazione dell'energia tra l'istante in cui raggiunge la massima altezza, dove l'energia meccanica finale è data dalla sola $(M+m) g H_{max,2}$, e l'istante in cui il corpo parte con velocità $v_{CM}$, appena dopo l'urto, ad un'altezza ricavata nel punto a), che vale $H_{max,1}$
$[(M+m) g H_{\text{max,2}} = \frac{1}{2}(M+m) v_{CM}^{2} +(M+m) g H_{max,1}]$
e si ricava $H_{\text{max},2}$.Sperando di non aver commesso errori fino a qui, ora ho un dubbio
f) Qui userei ancora la conservazione dell'energia tra il punto in cui tocca terra, con velocità pari a velocità d'impatto $v_{imp}$ e a energia potenziale nulla, e il punto in cui il sistema proiettile + piattello è appena partito.
$[(M+m) g H_{\text{max,1}} + \frac{1}{2} (M+m) v_{CM}^{2} = \frac{1}{2} (M+m) v_{\text{impatto}}^{2}]$
Da qui posso ricavare il modulo della velocità d'impatto.
Tuttavia la richiesta del problema era quella di trovare la distanza dal punto di lancio. La mia idea era quella di notare che il piattello+proiettile compie un moto parabolico, e studiare quel moto al solito modo.
E' la strada migliore/corretta?
Aldilà dei valori numerici, quel che mi preme è di essere certo della correttezza dei procedimenti