Palla che rotola su piano inclinato

Messaggioda caffeinaplus » 13/06/2018, 17:55

Salve a tutti, sono alle prese con un nuovo problema in cui credo di sbagliare il calcolo del lavoro, spero in una vostro aiuto :-D

L'esercizio è questo

Una sfera omogenea di massa $M$ e raggio $R$ rotola, senza strisciare, su un piano inclinato rispetto al suolo di un angolo $theta$.Nell'ipotesi che all'istante $t=0$ la sfera, da ferma, venga lasciata andare sul piano inclinato, ricavare l'espressione della velocità $v_c$ del centro di massa dopo $t$ secondi dall'inizio del moto.


La risposta è $v_c=(5/7*gsin(theta))*t$

Ho ragionato in questo modo:

Ho prima di tutto considerato il fatto che la sfera ha un moto di "puro rotolamento" ( credo sia sinonimo di rotola senza scivolare)

Dunque se prendo un sistema di riferimento con origine nel centro di massa e solidale alla palla, avrò che la velocità del punto di contatto tra suolo e palla è $0=v_c + w x R$ e quindi $v_c = wR$ ( qui la spiegazione che mi do è che alla fine potrei prendere pure un altro punto sulla circonferenza, la relazione conserverebbe comunque il suo valore, quindi alla fine mi sposto nel punto opposto a quello iniziale conservando il segno.Gradirei conferma :-D)

Quindi ricavo la prima relazione che $wR=v_c$

Adesso, visto che oltre alla forza peso non c'è nessun altra forza, posso usare il teorema delle forze vive calcolando il lavoro con essa

$1/2 M *(v_c)^2 + 1/2*Iw^2 = L$

L'inerzia è $I=2/5*M*R^2$

Quindi $1/2 * M *(v_c)^2 + 1/5(v_c)^2 = L$ dove ho usato la relazione ricavata precedentemente.

Adesso viene il momento di calcolare il lavoro e iniziano i veri guai :-D :-D

Dato che lui mi chiede la velocità della sfera in un generico istante $t$ devo in qualche modo ricondurre l'integrando a essere dipendente dalla variazione di $t$, quindi

$L=int_(0)^(s) Mgsin(theta)ds = int_(0)^(s) Mgsin(theta)(ds)/dt *dt = int_(0)^(t) Mgsin(theta)*v_c*dt$

Quindi $1/2 * M *(v_c)^2 + 1/5(v_c)^2 = Mgsin(theta)v_c*t$

Scarto la soluzione $v_c=0$ perchè visto che non c'è attrito, in questo caso non c'è nessuna forza che si oppone al moto.
Praticamente divido per $v_c$ e faccio qualche calcolo ottenendo

$v_c = 10/7*g*sin(theta)*t$

Che è esattamente il doppio di quanto dovrebbe essere :roll:
caffeinaplus
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 176 di 345
Iscritto il: 17/11/2016, 11:29

Re: Palla che rotola su piano inclinato

Messaggioda mgrau » 13/06/2018, 21:26

Quando scrivi $ Mgsin(theta)v_c*t$ vuoi intendere mi pare: il peso, per la velocità verticale, per il tempo, ossia il peso per la discesa compiuta.
Però, $v_c$ è la velocità FINALE, dopo il tempo t. Dovrebbe esserci la velocità MEDIA. Ma il moto è uniformemente accelerato, partendo da fermo, per cui la velocità media e giusto la META' della velocità finale.
mgrau
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3356 di 5028
Iscritto il: 29/11/2016, 12:10
Località: Milano

Re: Palla che rotola su piano inclinato

Messaggioda caffeinaplus » 13/06/2018, 22:27

Accidenti non ci avevo proprio pensato, grazie mille :-D
caffeinaplus
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 178 di 345
Iscritto il: 17/11/2016, 11:29

Re: Palla che rotola su piano inclinato

Messaggioda Shackle » 13/06/2018, 22:44

@ Caffeinaplus

L'esercizio chiede la velocità di traslazione del CM in un istante $t$ qualsiasi, non richiede velocità medie in un certo intervallo di tempo.

La palla è soggetta a due forze costanti , cioè il peso $mvecg$ e la reazione del piano , che si scompone in un componente normale $vecN$ e un componente tangenziale $vecA$ , il quale non è altro che la forza di attrito esercitata dal piano. Non è necessario complicarsi la vita passando attraverso il lavoro , per trovare che l'accelerazione lineare del CM è costante , pari a :

$a_(CM) = 5/7gsentheta$

e quindi la velocità istantanea è uguale a : $v_(CM) = a_(CM)*t$

Basta tenere presente che la forza di attrito esercita un momento sulla sfera , e quindi $A*R = I\alpha = I a_(CM)/R$ ; e basta applicare la 2º equazione della dinamica per il CM :

$ma_(CM) = mgsentheta -A $

Il resto del calcolo è sul foglio allegato :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


la forza di attrito vale : $ A = 2/7 mgsentheta$ , e affinché si abbia rotolamento puro deve essere soddisfatta la condizione :

$ A<=mu_s N $ , da cui si ricava che , dato $mu_s$ , l'inclinazione del piano deve soddisfare la relazione :

$tg\theta <=7/2mu_s $
Non troverai mai la verità se non sei disposto ad accettare anche ciò che non ti aspetti-Eraclito
LA verità emerge piuttosto dall'errore che dalla confusione - F. Bacon
Avatar utente
Shackle
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1317 di 2419
Iscritto il: 06/10/2016, 19:53

Re: Palla che rotola su piano inclinato

Messaggioda caffeinaplus » 14/06/2018, 06:36

@Shackle che io sia maledetto, sto avendo tanti attriti con la fisica che mi dimentico quello degli oggetti nei miei esercizi! Grazie mille :-D
caffeinaplus
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 179 di 345
Iscritto il: 17/11/2016, 11:29

Re: Palla che rotola su piano inclinato

Messaggioda Shackle » 14/06/2018, 07:11

Non maledirti, sei sotto sforzo, e capire bene la fisica richiede fatica! Ci siamo passati tutti...
Non troverai mai la verità se non sei disposto ad accettare anche ciò che non ti aspetti-Eraclito
LA verità emerge piuttosto dall'errore che dalla confusione - F. Bacon
Avatar utente
Shackle
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 1319 di 2419
Iscritto il: 06/10/2016, 19:53


Torna a Fisica, Fisica Matematica, Fisica applicata, Astronomia

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Mλtt e 25 ospiti