serie numeriche

Messaggioda gionni98 » 14/06/2018, 18:47

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questa serie numerica.

\( \sum_{n=1 }^{∞} \frac{n!n^3}{n^n} \)

Avevo pensato di risolverla con il criterio del confronto asintotico, ma l'asintotico mi esce \( \frac{n!}{n^n} \)
e andando a fare il limite mi esce infinito e non 1.
p.s. sono i primi esercizi che faccio qualcuno potrebbe spiegarmi se il confronto che ho utilizzato è giusto o ho fatto qualche errore?
gionni98
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Re: serie numeriche

Messaggioda pilloeffe » 14/06/2018, 19:03

Ciao gionni98,

Facendo uso del criterio del rapporto dovresti scoprire abbastanza facilmente che converge... :wink:
pilloeffe
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Re: serie numeriche

Messaggioda gionni98 » 14/06/2018, 19:18

Ho provato a fare con il criterio del confronto ma dal limite mi esce infinito quindi diverge. Non riesco a capire dove sbaglio.
gionni98
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Re: serie numeriche

Messaggioda pilloeffe » 14/06/2018, 20:47

La serie proposta

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!n^3}{n^n} $

è a termini positivi, cioè posto $a_n := \frac{n!n^3}{n^n} $ si ha $a_n > 0 \quad \AA n $
Applicando il criterio del rapporto si ha:

$ lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} \frac{frac{(n + 1)!(n + 1)^3}{(n + 1)^{n + 1}}}{\frac{n! n^3}{n^n}} = lim_{n \to +\infty} \frac{(n + 1)n!(n + 1)^3}{(n + 1)(n + 1)^n} \cdot \frac{n^n}{n! n^3} = $
$ = lim_{n \to +\infty} (\frac{n + 1}{n})^3 \cdot \frac{1}{(\frac{n + 1}{n})^n} = lim_{n \to +\infty} (1 + 1/n)^3 \cdot \frac{1}{(1 + 1/n)^n} = 1/e $

Dato che $1/e < 1 $ la serie proposta converge.
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Re: serie numeriche

Messaggioda gionni98 » 14/06/2018, 22:56

Grazie mille. Il calcolo del limite non mi si trovava perché nel termine $ n^n $ non inserivo il +1 all'esponente
gionni98
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