Due corpi puntiformi entrambi di massa $m = 2 kg$ sono attaccati all’estremità di un’asta rigida di massa trascurabile e di lunghezza $L = 0.8 m$. Il sistema è appoggiato con gli estremi ad una parete verticale e al piano orizzontale entrambi lisci, nella configurazione in cui l’asta forma un angolo $θ_0 = π/3$ radianti con la parete verticale. Il manubrio viene mantenuto in equilibrio in tale configurazione mediante una corda, inestensibile e priva di massa, attaccata al corpo appoggiato sul piano orizzontale e fissata al punto O di incontro della parete verticale con il piano orizzontale. All’istante $t = 0$ la corda improvvisamente si spezza e il manubrio si mette in moto sotto l’azione della forza peso del corpo appoggiato alla parete verticale liscia. Determinare:
a) le componenti cartesiane del vettore posizione del centro di massa per t < 0;
b) la tensione della corda per e la reazione $N_V$ del punto di appoggio alla parete per t<0
c) l’espressione del modulo della velocità del centro di massa del manubrio dopo la rottura della corda (t > 0) in funzione dell’angolo θ formato dall’asta con la parete verticale;
d) l’energia cinetica interna del manubrio dopo che l’asta ha ruotato di un angolo di $pi/6$ radianti rispetto alla configurazione iniziale.
a)
Da ovvie relazioni trigonometrihe si ricava che il vettore posizione del centro di massa è $\vec{r_{CM}}=\frac{1}{2} L \cos(\theta) \mathbf{i} + \frac{1}{2} L \sin(\theta) \mathbf{j}$
b)
Applicando la prima e la seconda legge cardinale posso ricavare tensione e reazione nel punto di appoggio alla parete:
$N= N_x \mathbf{i} + N_y \mathbf{j}$, mentre la tensione sarà $\vec{T}= -T \mathbf{i}$.
Domanda: ma il segno di $N_x,N_y$ all'interno della seconda legge in base a cosa si mettono? Dovrei sapere a priori la loro direzione e quindi li metto di conseguenza? Perché sinceramete fatico a capire quale sia esattamente il loro verso.
Via I° legge si ha che:
\( \begin{cases} N_x - T=0 \\ N_y - 2mg=0 \end{cases} \)
Da cui si ricava che $N_x = T$ e $N_y=2mg$.
Ovviamente $T$ verrà determinato dalla seconda legge cardinale: il momento delle forze esterne è nullo, pertanto
$[(L \cos(\theta) \mathbf{i} \wedge - T \mathbf{i}) + (L \sin(\theta) \mathbf{j} \wedge -mg \mathbf{j}) + (L \cos(\theta) \mathbf{i} \wedge -mg \mathbf{j}) + (L \sin(\theta) \mathbf{j} \wedge (-T \mathbf{i} + N_x \mathbf{j}))=0]$
Da cui si ricava che $T= mg \cot(\theta)$.
Perciò, ricapitolando: $[\vec{N} = mg \cot(\theta) \mathbf{i} + 2mg \mathbf{j}]$ e $[T=-mg \cot(\theta) \mathbf{i}]$ Ora il segno meno l'ho messo perché so che dovrà essere dirette in quel verso. Se invece non avessi specificato direttamente il suo verso nel calcolo dei momenti, allora avrei ottenuto effettivamente il segno negativo. E' corretto?
c) Presumibilmente andrà usata la conservazione dell'energia meccanica.
Altra domanda: il moto in questione NON è rotatorio, pertanto considero solamente l'energia cinetica dovuta alla traslazione del corpo rigido ?
Inizialmente si ha energia cinetica pari a $0$ ( il sistema è in quiete) e energia potenziale data da $mgL \sin(\theta_{0})$.
Quando l'angolo formato sarà pari a $\theta$ si ha che l'energia potenziale è $mgL \sin(\theta)$ e l'energia cinetica è data da $\frac{1}{2}(m+m) v_{CM}^{2}$.
Imponendo la conservazione dell'energia si ha
$[v_{CM}(\theta) = \sqrt(gL (\sin(\theta_{0}) - \sin(\theta) )]$
d) Anche qui non sono molto sicuro della mia risposta:
l'energia cinetica interna non dovrebbe essere data dalla sola energia cinetica calcolata qui sopra, ed esser dunque uguale a $E_{K}^{INT}= \frac{m+m}{2} * v_{CM}( \frac{\pi}{6})^{2} =mgL (sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6})) $
Grazie a chiunque mi possa correggere o far notare eventuali scempiaggini