Assumiamo un asse $x$ orizzontale, fisso, orientato positivamente verso destra. Supponiamo che la piattaforma abbia accelerazione $veca_t$ equiversa ad $x$ , cioè sia accelerata verso destra . LA piattaforma è un riferimento non inerziale per il cilindro posto su di essa . Quindi nasce in tale riferimento una forza apparente di trascinamento :
$vecF_t = -mveca_t$
che agisce sul cilindro verso sinistra. Il cilindro rotola in verso antiorario, tra cilindro e piattaforma c'è la forza di attrito statico $vecF_a$ diretta verso destra ; il momento di questa forza , applicata nel punto di contatto $P$ , rispetto al centro $O$ , dà luogo ad accelerazione angolare relativa alla piattaforma $vec\alpha$, antioraria, tale che :
$(P-O) times vecF_a = I vec\alpha$
cioè , il vettore $vecalpha $ è diretto dal foglio all'osservatore .
nella condizione di rotolamento puro , il CM del cilindro ha accelerazione
relativa diretta verso sinistra , di modulo : $ a_r = alphaR $ ( vedere figura allegata ) .
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Nel riferimento della piattaforma, la prima eq. cardinale scritta in forma vettoriale è :
$vecF_t + vecF_a = mveca_r$
mettendo insieme quanto finora detto, e proiettando sull'asse $x$ , si ha :
$-ma_t + I\alpha/R = -ma_r$
da cui : $ ma_t = ma_r + I\alpha/R = a_r(m+I/R^2) \rightarrow a_t = a_r (1 + I/(mR^2) ) $
Posto : $I/(mR^2) = k $ , scrivo : $a_t = a_r (1+k) \rightarrow a_r = a_t / ( 1+k) $
notiamo che queste quantità sono moduli , i versi dei vettori sono indicati in figura .
L'accelerazione assoluta è data da : $ veca_a = veca_r + veca_t $ , la quale , proiettata su $x$ , dà :
$a_a = a_t - a_r =...= a_t k/(1+k) $
Quindi , l'accelerazione assoluta è , in modulo, inferiore all'accelerazione di trascinamento in modulo . Da notare che l'accelerazione assoluta è comunque vettorialmente diretta verso destra , pur rotolando il cilindro in verso antiorario.
È essenziale , in questa soluzione, l'ipotesi che sia assicurato il
rotolamento puro del cilindro rispetto alla piattaforma . Infatti, pensiamo all'effetto "prestigiatore" : abbiamo visto tutti il gioco del prestigiatore che , con un gesto deciso, strappa la tovaglia da un tavolo perfettamente imbandito , lasciando sul posto bicchieri e piatti , e suscitando la meraviglia delle persone ; se la piattaforma è sfilata con accelerazione molto rapida da sotto al cilindro , questo rimane sul posto e non rotola, o rotola pochissimo ; ma in questo modo c'è strisciamento senza quasi rotazione tra cilindro e piattaforma , proprio come nel gioco del prestigiatore .
Ho fatto io stesso l'esperimento : ho preso una palla , l'ho posata sul tavolo interponendo un foglio di cartoncino , poi ho dato un strappo deciso al foglio , che è venuto via lasciando la sfera pressoché immobile.
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.