calcolare il rango della matrice

[cri98]

al variare del parametro k appartenente ai reali si consideri la matrice
$ A_k( ( 1 , 0 , -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 , k^2-1 , -2 ) ) $
A) esistono almeno due valori distinti di k per cui$ A_k $ non ha rango massimo
B)esiste uno ed un solo valore di k per cui$ A_k $ ha rango 2
C)A_K ha rango massimo per ogni k
D)per k=0 la matrice$ A_k$ definisce un'applicazione lineare invertibile
E)per k=0 la matrice$ A_k$ ha rango 3

come faccio a risolvere questo esercizio?
Grazie!

[cri98]

Ciao,TeM
tutto chiaro grazie per la risposta

[cri98]

ciao,TeM
riguardando l'esercizio mi è sorto un dubbio:
quando vado a verificare la risposta E che dice che se pongo K=0 ottengo che il rango è 3.
matrice di partenza
$ ( ( 1 , 0 , -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 , k^2 , -1 ) ) $
matrice di arrivo
$ ( ( 1 , 0 , -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 , 0 , -1 ) ) $
in questo caso non ottengo che i pivot sono 3 e sono (1,-1,1)?
in cosa sto sbagliando?
Grazie!

[Magma]

@TeM: Un pivot è un numero non nullo al di sotto del quale ci sono solo zeri¹; non è necessario ridurre a scalini la matrice.

$

matrice di arrivo

$ ( ( 1 , 0 , -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 , 0 , -1 ) ) $

in questo caso non ottengo che i pivot sono 3 e sono (1,-1,1)?
in cosa sto sbagliando?

Per il calcolo del rango è sufficiente la riduzione per righe, mentre per la risoluzione di un sistema lineare è più efficace la riduzione a scalini. Quindi sulla quarta riga ci sono ben due pivot.


P.S. Il rango di una matrice è il numero di righe non nulle della matrice ridotta per righe; di conseguenza è il numero di pivot della stessa ridotta a scalini.

---

Note

1. $A$ $ nxxn$, $A=a_(ij)$.
   Si dice pivot un'entrata $a_(hk)$ di $A$ tale che:
   
   $(1)$ $a_(hk)ne0$
   $(2)$ $a_(rk)=0, qquad AA r>h$ ↑

[axpgn]

@Magma
Sinceramente, questo modo di vedere le cose mi pare che complichi le cose invece di semplificarle ... IMHO

[Magma]

@axpgn: ti riferisci alla nota?

[axpgn]

No, è un discorso più generale ... voglio dire, in questo contesto con questo OP mi pare che le distinzioni che fai siano controproducenti ... IMHO

[Magma]

Cercherò di essere più attinente.

[axpgn]

Lo sei stato troppo!

[Magma]

Giusto! Sono fuso