Ciao, probabilmente è per colpa di qualche stupida lacuna che in questo momento non riesco ad identificare ma non riesco a venirne a capo.
Ho questo esercizio:
Calcolare i massimi e minimi della funzione
\( \displaystyle f(x,y) = x^2-4x-y^2 \) nel dominio \( \displaystyle X = \{(x; y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 16\} \) .
Indicare se si tratta di
massimi o minimi relativi o assoluti (e perché).
Ho cominciato facendo il \( \displaystyle \nabla f = 0 \) da cui mi son ricavato il primo punto \( \displaystyle (2,0) \) , che, assieme alla matrice hessiana ho rivelato come punto di sella.
Poi ho definito la funzione lagrangiana per lo studio sulla frontiera con i moltiplicatori di Lagrange:
\( \displaystyle L(x,y,\lambda) = x^2-4x-y^2-\lambda(x^2+y^2-16)) \)
eguagliandone poi a zero la derivata
\( \displaystyle \left\{\begin{matrix}L_x = 0\\L_y = 0\\L_\lambda = 0\end{matrix}\right. \)
Da cui ricavo i seguenti punti:
\( \displaystyle (4,0) \) per il quale \( \displaystyle f(x,y)=0 \)
\( \displaystyle (-4,0) \) per il quale \( \displaystyle f(x,y)=32 \) quindi un massimo assoluto
\( \displaystyle (1,\sqrt{15}) \) per il quale \( \displaystyle f(x,y)=-18 \)
\( \displaystyle (1,-\sqrt{15}) \) per il quale \( \displaystyle f(x,y)=-18 \) quindi due punti di minimo assoluto
Non riesco però a classificare il primo punto, il docente nel suo esercizio svolto dice che non è né punto di massimo né di minimo, mentre io direi che è un punto di massimo relativo dato che la funzione intorno scende.
Cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?
Grazie in anticipo e scusate se magari ho scritto strafalcioni.
Edit: Ho aggiunto il resto del testo dell'esercizio per evitare incomprensioni.