Un manubrio asimmetrico come in figura è costituito da due corpi puntiformi di massa m = 2 kg e M = 6 kg, rispettivamente, fissati alle estremità di un'asta rigida, sottile, di massa trascurabile e di lunghezza $L = 0.8 \quad m$. Il manubrio è imperniato su un asse orizzontale fisso passante per il punto medio O dell’asta attorno a cui il sistema può ruotare, senza attrito alcuno, nel piano verticale xy. Inizialmente il manubrio viene mantenuto in quiete, in configurazione orizzontale ad un’altezza dal suolo maggiore di $L/2$, tramite una fune ideale disposta verticalmente, che collega il corpo puntiforme di massa m con un gancio $G$, posto al suolo.
All’istante t = 0 la fune si spezza e il manubrio si mette in rotazione nel piano verticale attorno all’asse
passante per il punto O. Calcolare nel sistema di riferimento Oxyz, con il piano xy coincidente con il piano
verticale:
a) le coordinate cartesiane del centro di massa del manubrio prima della rottura della fune;
b) la tensione iniziale $T$ della fune;
c) la reazione iniziale $R_O$ sviluppata dal perno in O;
d) il modulo dell’accelerazione angolare del manubrio subito dopo (i.e. t = 0 + ) la rottura della fune;
e) la velocità angolare di rotazione del sistema quando, dopo aver compiuto una rotazione di 90°, raggiunge la configurazione verticale;
f) l’energia cinetica interna $E_{K,INT}$ del sistema in questa configurazione;
g) la reazione $R_{O}'$ sviluppata dal perno in O quando il manubrio raggiunge la configurazione verticale sopra citata
a)
Le coordinate cartesiane sono
$[x_{CM}=\frac{\frac{L}{2} (M-m)}{M+m}, y_{CM}=0]$
b),c) Dalla prima + seconda legge cardinale a sistema posso ricavarle la tensione $T=T \mathbf{i}$ e la reazione del perno iniziale che vale $\vec{R_{O}} = R_{O,x} \mathbf{i} + R_{O,y} \mathbf{j}$.
\( \begin{cases} R_{O,y}=0 \\ R_{O,x} + (M+m)g + T=0 \end{cases} \) (sommatoria vettoriale delle forze esterne nulle)
A questo va aggiunto che il momento delle forze esterne rispetto al polo O sia nullo. Perciò deve essere
$[\vec{r_{m}} \wedge ( \vec{P_{m} + \vec{T}}) + \vec{r_{M}} \wedge \vec{P_{M}}=0 ]$
Svolgendo i calcoli ottengo da quest'ultima relazione
$[T=(M-m) \mathbf{j}]$
Posso ora ricavarmi la reazione
$[\vec{R_{O}}=-(M+m)g - (M-m)g=-2Mg \mathbf{i}]$
d) Subito dopo la rottura della fune, la tensione del filo sparisce, pertnanto, sfruttando l'equazione del moto
$\vec{\tau_{O}} = I_z \vec{\alpha}$
e ricordando che $I_z=\frac{L^2}{4} (M+m)$
, ricavo che la somma dei momenti delle due forze peso rispetto al polo O è uguale alla velocirà angolare per il momento d'inerzia.Da cui
$[\alpha= \frac{g(m-M)}{\frac{L}{2} (M+m)}]$
(ha senso sia negativa?)e) Fisso la quota $0$ del potenziale quando il manubrio è disposto orizzontalmente e applico la conservazione dell'energia.
L'energia meccanica iniziale del sistema è $E_{M,i}=0$ poichè non c'è moto e il potenziale è messo a 0.
L'energia meccanica finale, in corrispondenza della configurazione verticale, è data da $E_{M,f}=\frac{1}{2} I_z \omega^2 +mg\frac{L}{2} - M g \frac{L}{2}$.
Svolgendo i conti ho ricavato
$[\omega = \sqrt(\frac{2g(M-m)}{L(M+m)})]$
f) Vale che $E_{K,int}=E_{K,s} - E_{K,CM} = \frac{1}{2} I_z \omega^2 - \frac{1}{2} (M+m) v_{CM}^{2} $.
A questo punto è sufficiente ricavare la velocità del centro di massa: (della quale non sono sicuro circa i segni)
$v_{CM}=\frac{m \frac{L}{2} \omega - M \frac{L}{2} \omega}{M+m}=\frac{\frac{L}{2} \omega(m-M)}{M+m}$.
Con questi dati è possibile dunque ricavare il risultato
g)
Si ha in questa configurazione che $r_{CM}=\frac{\frac{L}{2}(M-m)}{M+m}$.
Ora devo usare ancora le leggi cardinali e l'equazione del moto. Si ha \( \begin{cases} (M+m)a_{CM,x}=(M+m)g + R_{O,x} \\ (M+m)a_{CM,y} = R_{O,y} \end{cases} \)
L'accelerazione normale è $a_{CM,x} = (M+m)\omega^2 r_{CM}$.
L'accelerazione tangenziale è $a_{CM,y}=r_{CM} \alpha = [\text{conti}] = \frac{\frac{L}{2} (M-m)}{M+m}$
Si hanno dunque tutti gli strumenti per ricavare le due componenti della reazione $R_{O} ' $ del perno in O:
$[R_{O,x}'=-4 \frac{mM}{M+m} g]$
$[R_{O,y}' =\frac{g(M-m)(m-M)}{M+m}]$
Può andare?