Integrale improprio e valore di essi

[vivi96]

$\int_e^(+infty) logx/(x+xlog^4x)dx$

Mi chiede di determinare che converge e nel caso affermativo determinarne il valore
Per vedere se converge calcolo il dominio e vedo che è $(0,+infty)$ quindi dico che $e$ appartiene ad esso dunque converge per quell estremo, giusto? Per infinito invece direi che x ha ordine maggiore quindi la funzione tende a 0 con ordine 1 quindi diverge. Per calcolare il valore di quell integrale invece come procedo?

[anonymous_0b37e9]

Basta osservare che:

$[f(x)=logx/(x(1+log^4x))] rarr [F(x)=1/2arctg(log^2x)+c]$

[Cantor99]

Provo a risponderti

Per la convergenza, proverei così ma non ne sono sicuro. Per $x$ grandi si ha
$\frac{log(x)}{1+log^4(x)}=\frac{1}{log^3(x)}$
(quell'uguale è in realtà un circa, non so come scriverlo!)
e poiché
$\int_{e}^{+\infty} \frac{log^(-3)(x)}{x}dx =lim_(x->+\infty) [\frac{-1}{2log^2(x)}-(-\frac{1}{2})]=\frac{1}{2}$
l'integrale deve convergere

L'integrale mi sembra immediato, perché
$\int_{e}^{+\infty} \frac{log(x)}{x+xlog^4(x)}dx =\frac{1}{2} \int_{e}^{+\infty} \frac{\frac{2log(x)}{x}}{1+(log(x))^2}=\frac{arctan(log^2(x))}{2}$

Infine si ha
$lim_(x->+\infty) [\frac{arctan(log^2(x))}{2}-\frac{\pi}{8}] =\frac{\pi}{8}$

[vivi96]

Quindi va bene dire che l'estremo e dellintegrale appartiene al dominio quindi converge per forza? Senza dimostrare

[Datolo]

Il dominio dell'integranda è contenuto nel dominio dell'integrale quindi se $e$ appartiene al dominio dell'integranda non ci sono problemi

[anonymous_0b37e9]

Mi chiede di determinare che converge ...

... e, nel caso affermativo, determinarne il valore.

Probabilmente, volendo rispettare la consegna alla lettera, si dovrebbe dimostrare la convergenza senza utilizzare la definizione ma un qualche teorema del confronto. Altrimenti, visto che si può integrare in modo elementare, tanto varrebbe calcolare direttamente il seguente limite:

$lim_(M->+oo)\int_{e}^{M}logx/(x(1+log^4x))dx$

Per esempio, poichè:

$[t=logx] rarr [\int_{e}^{+oo}logx/(x(1+log^4x))dx=\int_{1}^{+oo}t/(1+t^4)dt]$

applicando il teorema del confronto alla seguente funzione:

$g(t)=t/(1+t^4)$

[vivi96]

Provo a risponderti

Per la convergenza, proverei così ma non ne sono sicuro. Per $x$ grandi si ha
$\frac{log(x)}{1+log^4(x)}=\frac{1}{log^3(x)}$
(quell'uguale è in realtà un circa, non so come scriverlo!)
e poiché
$\int_{e}^{+\infty} \frac{log^(-3)(x)}{x}dx =lim_(x->+\infty) [\frac{-1}{2log^2(x)}-(-\frac{1}{2})]=\frac{1}{2}$
l'integrale deve convergere

L'integrale mi sembra immediato, perché
$\int_{e}^{+\infty} \frac{log(x)}{x+xlog^4(x)}dx =\frac{1}{2} \int_{e}^{+\infty} \frac{\frac{log(x)}{x}}{1+(log(x))^2}=\frac{arctan(log^2(x))}{2}$

Infine si ha
$lim_(x->+\infty) [\frac{arctan(log^2(x))}{2}-\frac{\pi}{8}] =\frac{\pi}{8}$

Perché a infinito posso scrivere $1/log^3x$?

[vivi96]

Però lintegrale dell arctan non è $1/(1+x^2)$? A me rimane una t a nominatore

[Cantor99]

Lascio il compito a @anonymous_0b37e9 di vedere se il mio ragionamento è in partenza corretto

$\frac{log(x)}{1+log^4(x)}$ per $x$ grandi di certo non dà conto di quell'1, e dunque si comporta come $\frac{log(x)}{log^4(x)}=\frac{1}{log^3(x)}$

Per l'altra questione, si usa l'integrale immediato
$\int \frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}dx =arctan(f(x))+c$

[vivi96]

Ahhhh si si ho risolto anche l'integrale!! Perfetto grazie mille