Compattezza di un sottoinsieme in R2

Messaggioda Shimoda » 20/06/2018, 13:56

Buongiorno a tutti, sono giorni che mi scervello su questo problema: Stabilire se il seguente sottoinsieme H è compatto
H = {(x,y) \subset R^2 : -1 =< x*x*x + x*y + y*y*y =< 1}
L'idea era di utilizzare il teorema di Heine-Borel. Per quanto inerente alla chiusura non ho dubbi, ho utilizzato la proprietà delle antimmagini di funzioni continue di conservare la chiusura di un insieme. Per quanto riguarda la limitatezza non so che pesci pigliare; enuncio i tentativi che ho fatto:
- Completare il cubo, tale da ottenere un espressione in cui compare solo (x+y) e x*y. Ho provato poi a reimpostare il piano R^2, su queste variabili, sperando di ottenere una curva limitata.
- Studiare il tutto come una funzione f(x,y); controllare i punti critici e sperare in una limitatezza dell'immagine della funzione.
- Tentare di ricondursi a una conica, o comunque curva, conosciuta.
Ho riflettuto inoltre sulla possibile applicazione diretta della definizione di insieme compatto, ma non mi è venuto in mente nulla da poter utilizzare.

Grazie per l'aiuto, buona giornata.

P.S.: Sono riuscito abbastanza agevolmente a dimostrare che esso è limitato nel primo e terzo quadrante. Per il resto nulla.
Shimoda
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