Base ortogonale dell’immagine

[Beatrice filippelli]

Salve ho una matrice
$ ((0,-1,2) , (1,0,1) , (-2,-1,0)) $
E chiede di trovare una base ortogonale all’immagine:
Allora ho ridotto in scala la matrice
$ ((1,0,1) , (0,-1,2) , (0,0,0)) $
Le basi dell’immagine sono le prime due colonne della matrice iniziale?????
Cioè f: $ ((0,1,2)) $
E e: $ ((-1,0,-1)) $
Perché sono le colonne dove nella matrice in scala compaiono i pivot
Giusto?
Però il risultato della base ortogonale sono le colonne:
$ ((1,0,1)) $ e $ ((1,1,-1)) $
Per trovare la base ortogonale si trova
C=λe + αf
0=f•c
C= La colonna $ ((-5/2,1,1/2)) $
Il risultato ( scritto prima) è diverso
Come bisogna procedere?

[Bokonon]

Le basi dell’immagine sono le prime due colonne della matrice iniziale?????
Cioè f: $ ((0,1,2)) $
E e: $ ((-1,0,-1)) $
Perché sono le colonne dove nella matrice in scala compaiono i pivot
Giusto?

Esatto
Lo spazio ortogonale all'immagine ha chiaramente dimensione 1.
Puoi trovare un vettore ortogonale ad entrambi usando il prodotto vettoriale della base che hai trovato...
...oppure in modo molto più elegante e significativo puoicercare il nucleo della trasposta di quella matrice, ovvero lo spazio nullo sinistro che è "naturalmente" ortogonale allo spazio delle colonne (=immagine)

[Beatrice filippelli]

Le basi dell’immagine sono le prime due colonne della matrice iniziale?????
Cioè f: $ ((0,1,2)) $
E e: $ ((-1,0,-1)) $
Perché sono le colonne dove nella matrice in scala compaiono i pivot
Giusto?

Esatto
Lo spazio ortogonale all'immagine ha chiaramente dimensione 1.
Puoi trovare un vettore ortogonale ad entrambi usando il prodotto vettoriale della base che hai trovato...
...oppure in modo molto più elegante e significativo puoicercare il nucleo della trasposta di quella matrice, ovvero lo spazio nullo sinistro che è "naturalmente" ortogonale allo spazio delle colonne (=immagine)

Quindi a me la base ortogonale dell’immagine da un risultato diverso da quelli riportati nelle soluzioni
Sono giusti ugualmente?

[Bokonon]

Quindi a me la base ortogonale dell’immagine da un risultato diverso da quelli riportati nelle soluzioni
Sono giusti ugualmente?

Direi di no. Se hai provato a fare il prodotto scalare fra il vettore che hai derivato e quelli della base avrai scoperto che è diverso da zero in entrambi i casi....quindi non è ortogonale.

[Beatrice filippelli]

Quindi a me la base ortogonale dell’immagine da un risultato diverso da quelli riportati nelle soluzioni
Sono giusti ugualmente?

Direi di no. Se hai provato a fare il prodotto scalare fra il vettore che hai derivato e quelli della base avrai scoperto che è diverso da zero in entrambi i casi....quindi non è ortogonale.

La trasposta della matrice è $ ((0,1,-2) , (-1,0,-1) , (2,1,0)) $
Ora ridico in scala $ (-1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,0)) $
Il nucleo della trasposta è quindi è la terza colonna $ (-2,-1,0) $
Come risultato riporta che la base ortogonale del nucleo è $ (-1,2,1) $
Il nucleo della trasposta è x=0 e y=0
Come ottengo la base ortogonale dell’immagine che come risultato sono le colonne $ (1,0,1) $ e $ (1,1,-1) $

Grazie mille ma non capisco quello che devo fare

[Bokonon]

Colpa mia. Avevo scritto esatto ma hai ricopiato male le colonne.
La base dell'immagine è (0,1,-2) e (-1,0,-1)
Il vettore che genera il nucleo della trasposta che hai trovato è corretto (-1,2, 1)
Infatti se fai il prodotto scalare con i due vettori di cui sopra scopri che da zero in entrambi i casi.
Quindi è appunto la base dello spazio ortogonale all'immagine, ovvero lo spazio nullo sinistro.
Complimenti!

Il nucleo della trasposta è x=0 e y=0
Come ottengo la base ortogonale dell’immagine che come risultato sono le colonne $ (1,0,1) $ e $ (1,1,-1) $:

Tutta questa parte non era necessaria...avevi già trovato la risposta al quesito

[Beatrice filippelli]

Colpa mia. Avevo scritto esatto ma hai ricopiato male le colonne.
La base dell'immagine è (0,1,-2) e (-1,0,-1)
Il vettore che genera il nucleo della trasposta che hai trovato è corretto (-1,2, 1)
Infatti se fai il prodotto scalare con i due vettori di cui sopra scopri che da zero in entrambi i casi.
Quindi è appunto la base dello spazio ortogonale all'immagine, ovvero lo spazio nullo sinistro.
Complimenti!

Il nucleo della trasposta è x=0 e y=0
Come ottengo la base ortogonale dell’immagine che come risultato sono le colonne $ (1,0,1) $ e $ (1,1,-1) $:

Tutta questa parte non era necessaria...avevi già trovato la risposta al quesito

Ho capito grazie ancora
Allora i risultati che riporta sono sbagliati?

[Bokonon]

Allora i risultati che riporta sono sbagliati?

Riporta chi?
Credimi Bea si fa fatica a leggere quello che scrivi
Per quella matrice, l'immagine è quella (un piano) e lo spazio ortogonale all'immagine è quello (una retta)