Singolarità essenziale

[Domeniko98]

Buonasera forum, ho un problemino su questo esercizio

Calcolare (con il teorema dei residui)
$int_gamma(z^2/(z-i))cos(1/(z-i)) dz $, ove $gamma$ è la circonferenza di centro $i$ e raggio $1$.

Io ho trovato che :
Il punto $z_0=i$ è una singolarità essenziale in quanto il $lim_ (z->z_0) f(z)$ non esiste.
Potrei verificarlo anche osservando che la parte singolare dello sviluppo di Laurent ha infiniti termini, ma è proprio questo che non riesco a fare (che mi serve per calcolare proprio il residuo). Ora provo a farvi vedere :

Sviluppo di centro $i -> ((z^2)(1-1/(z-2i)^2))/(z-i)$ . Il residuo dovrebbe essere dato dal coefficiente di $(z-i)^(-1)$ che sarebbe il numeratore?

[gugo82]

Quella roba lì tutto mi sembre fuorché uno sviluppo di Laurent... Come l'hai ottenuto?

[Domeniko98]

Quella roba lì tutto mi sembre fuorché uno sviluppo di Laurent... Come l'hai ottenuto?

Non bisogna sviluppare il $cos(1/(z-i))$ nell'intorno $i$?, mi sono fermato al secondo termine

[gugo82]

Sì, vabbè... Però quello ottenuto non è uno sviluppo di Laurent, perché mancano termini è non compaiono solo potenze di $z-i$. Ci devi lavorare ancora un po'.

[Domeniko98]

Purtroppo ho problemi con lo sviluppo di Laurent in generale altrimenti non avrei scritto qui

[gugo82]

Sai che lo sviluppo:
\[
\cos w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ w^{2n}
\]
coincide con lo sviluppo di Taylor in $0$ e con lo sviluppo di Laurent in $oo$; visto che $1/(z-i) -> oo$ per $z->i$, puoi usare la tecnica degli sviluppi innestati per ottenere:
\[
\cos \frac{1}{z-i} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \left( \frac{1}{z-i}\right)^{2n}
\]
da cui:
\[
\frac{1}{z-i}\ \cos \frac{1}{z-i} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\; .
\]
D'altra parte, hai:
\[
z^2 = (z-i+i)^2= (z-i)^2 +2i(z-i)-1
\]
e perciò:
\[
\begin{split}
f(z) &= \frac{z^2}{z-i}\ \cos \frac{1}{z-i} \\
&= \Big( (z-i)^2 +2i(z-i)-1\Big)\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n-1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\; ,
\end{split}
\]
che, opportunamente manipolato, fornisce lo sviluppo di Laurent richiesto.

[Domeniko98]

Probabilmente dovrebbero farti santo..grazie mille per la pazienza

Un'ultima domanda: sviluppando, i termini con $(z-i)^(-1)$ sono $-1/(z-i) -1/(2(z-i))$ che sommati fanno $-3/(2(z-i))$. Il residuo è dunque $-3/2$?

[gugo82]

Finisco il contariello...

Hai:
\[
\begin{split} f(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n-1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}}\\
&= (z-i) + 2i + \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!} - \frac{(-1)^n}{(2n)!} \right)\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2i}{(2n)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n}}\\
&= \underbrace{(z-i) + 2i}_{\text{p.te regolare}} + \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (4n^2+6n+3)}{(2n+2)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2i}{(2n+2)!}\ \frac{1}{(z-i)^{2n+2}}}_{\text{p.te singolare}}\; \ldots
\end{split}
\]
Quindi, sì, il residuo in $i$ è $-3/2$.

[Domeniko98]

Ok provo a proporre un altro esempio per vedere se ho compreso :

$f(z) = z^2(sen(1/(z-1))+ 1/(z(z-1))sen(1/z))$
Ho una singolarità in $z_0=1$ che pare essere un polo in quanto passando al $lim_(z->1) f(z) =\infty$

Conoscendo lo sviluppo del $sen(z) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) z^(2n+1)$

Ho che lo sviluppo di $sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$

Qundi $z^2*sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) z^2/(z-1)^(2n+1)$

Mentre $z/(z-1)*sen(1/z) = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)*z^(2n))$ sotto opportune semplificazioni

Il problema è che compaiono infiniti termini della parte singolare $ (z-1)^(-1)$, dove ho sbagliato?

[gugo82]

"A occhio", la $f$ ha in $z_0=1$ una singolarità essenziale, perché $\sin (1/(z-1))$ ha in $1$ una singolarità essenziale.

Inoltre, fai sempre lo stesso errore: quelli che scrivi nelle ultime due righe tutto sono fuorché sviluppi di Laurent.
Perchè?


P.S.: Calcolare esplicitamente la serie di Laurent centrata in $1$ in questo caso mi pare molto laborioso.
Che ci devi fare con quella funzione lì?