a^n + b^n con n dispari

[rgm8]

Salve ho difficoltà nel dimostrare la seguente uguaglianza :
$ a^n +b^n = (a+b) * sum a^k * b^(n-k)$

[gugo82]

Salve ho difficoltà nel dimostrare la seguente uguaglianza :
$ a^n +b^n = (a+b) * sum a^k * b^(n-k)$

Perchè è falsa già con $n=3$.

[pilloeffe]

Ciao rgm8,

Come dovrebbe esserti noto, si ha:

$ a^n - b^n = (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k - 1} = (a - b) \cdot (b^{n - 1} + a b^{n - 2} + ... + b a^{n - 2} + a^{n - 1}) = $
$ = (a - b) \cdot (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) $

Se ora si sostituisce $- b$ al posto di $b $ e si tiene presente che per ipotesi $n $ è dispari e quindi $(-1)^n = (-1)^{n - 2} = ... = - 1 $ e $(- 1)^{n - 1} = (- 1)^{n - 3} = ... = 1 $, si ha:

$ a^n + b^n = (a + b) \cdot \sum_{k=0}^{n-1} (- 1)^{n-k - 1} a^k b^{n - k - 1} = (a + b) \cdot (b^{n - 1} - a b^{n - 2} + ... - b a^{n - 2} + a^{n - 1}) = $
$ = (a + b) \cdot (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + ... - a b^{n - 2} + b^{n - 1}) $

Vediamo se funziona. Per $n = 1 $ si ha:

$ a^1 + b^1 = (a + b) \cdot \sum_{k=0}^{0} (- 1)^{- k} a^k b^{- k } = (a + b) \cdot 1 = a + b $

Quindi è vera. Per $n = 3 $ si ha:

$ a^3 + b^3 = (a + b) \cdot \sum_{k=0}^{2} (- 1)^{2 - k} a^k b^{2 - k} = (a + b) \cdot (b^2 - ab + a^2) = (a + b) \cdot (a^2 - ab + b^2) $

Dunque è vera anche per $n = 3 $. Per $n = 5 $ si ha:

$ a^5 + b^5 = (a + b) \cdot \sum_{k=0}^{4} (- 1)^{4 - k} a^k b^{4 - k} = (a + b) \cdot (b^4 - ab^3 + a^2 b^2 - a^3 b + a^4) = $
$ = (a + b) \cdot (a^4 - a^3 b + a^2 b^2 - ab^3 + b^4) $

Quindi è vera anche per $ n = 5 $
Ora potresti provare tu a dimostrare che è vera per ogni $n $ dispari...