Teorema di Konig e cuneo

[feddy]

Un punto materiale di massa m = 0.4 kg si muove di moto rettilineo uniforme su di un piano orizzontale liscio con velocità $v_0 = 1.6 m/s$. Ad un certo istante esso inizia a salire lungo il profilo circolare di un cuneo di massa M = 1.2 kg (vedi figura), appoggiato sul piano orizzontale e avente altezza $R = 0.2 m.$
Determinare nel sistema di riferimento Oxy solidale al piano orizzontale, e con l’asse x disposto parallelamente al medesimo piano orizzontale:

(a) l’altezza massima raggiunta dal punto materiale nel suo moto lungo il profilo circolare;
(b) la velocità del cuneo in tale istante;
(c) le velocità del cuneo e del punto materiale, dopo che quest’ultimo è ritornato sul piano orizzontale.

IMMAGINE:

SOL:

a)

Utilizzo il principio di conservazione dell'energia meccanica:

$E_(m,i)=E_(m,f)$

$E_m,i=1/2mv_0^2$

$E_(m,f)=mgH + 1/2(M+m)*v_(CM)^2$

L'energia cinetica finale è data solo da $1/2(M+m)*v_(CM)^2$ poiché, per il teorema di Konig $E_k= E'_k + E_(k,CM)$.

Ma poichè raggiunge l'altezza max: $E'_k =0$

$v_(CM)=(mv_0)/(M+m)$

Da qui ricavo che $H=(v_0^2M)/(2g(M+m))$.

b)

La velocità del cuneo è uguale alla velocità del centro di massa: $v_c=(mv_0)/(M+m)$


c) Per questo punto ho la risoluzione:

Per la conservazione della quantità di moto: $(M+m)v_(CM) = mv_f+ Mv'_f$, per cui $mv_0= mv_f+ Mv'_f$

da cui $v'_f=m/M(v_0 - v_f)$

Agiscono solo forze conservative, quindi vale anche la conservazione dell'energia meccanica:

$E_(m,i)=1/2mv_0^2 $

$E_(m,f)=1/2mv_f^2 + 1/2Mv'f^2$

Sostituendo nell'energia meccanica finale l'espressione trovata per $v'_f$ e uguagliando le due energie:

$1/2mv_0^2 = 1/2mv_f^2 + 1/2M[m/M(v_f- v_0)]^2 $

da cui posso ricavare $v_f$.

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Non mi è chiara una cosa: nell'energia cinetica finale, perché trattiamo i due corpi separati ? non si dovrebbe usare il teorema di Konig per l'energia cinetica ? Nel punto a) per esempio per scrivere l'energia cinetica finale li abbiamo trattati come un unico punto materiale di massa $(M+m)$ con la velocità del centro di massa $v_(CM)$, mentre ora li separiamo...

[anonymous_0b37e9]

Veramente, io non avrei scomodato il teorema di Konig nemmeno al punto a). Ad ogni modo, applicarlo al punto b) sarebbe come calcolare l'energia cinetica di due masse puntiformi che si muovono lungo una retta senza utilizzare $[1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2]$ ma in modo molto più involuto. Insomma, un'inutile complicazione.

[feddy]

non vorrei fare del necroposting, tuttavia riguardando l'esercizio vorrei sapere come faresti il punto a) senza usare Konig.

Appena il sistema massa+cuneo entra in contatto si ha $v_{CM}=\frac{m v_0}{M+m}$ Ora riguardandolo farei così: Considererei l'energia meccanica iniziale $E_{M,i}=\frac{1}{2}(M+m) v_{CM}^{2}$, mentre quella finale è $E_{M,f}=mgH$, visto che il corpo si ferma. Tuttavia i risultati non combaciano

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il punto (a) e il punto (b), osservando che, quando il punto materiale raggiunge l'altezza massima, quest'ultimo e il cuneo hanno la medesima velocità diretta lungo la direzione orizzontale:

Conservazione della quantità di moto lungo la direzione orizzontale

$[mv_0=(M+m)V] rarr [V=m/(M+m)v_0]$

Conservazione dell'energia meccanica

$[1/2mv_0^2=1/2(M+m)V^2+mgh] rarr [1/2mv_0^2=1/2(M+m)m^2/(M+m)^2v_0^2+mgh] rarr$

$rarr [2gh=v_0^2-m/(M+m)v_0^2] rarr [h=M/(2g(M+m))v_0^2]$

Veramente, io non avrei scomodato il teorema di Konig nemmeno al punto (a).

Imporre che l'energia cinetica rispetto al sistema di riferimento solidale al centro di massa sia nulla è equivalente ad osservare che il punto materiale e il cuneo hanno la medesima velocità diretta lungo la direzione orizzontale. Tipicamente, quando è possibile, si preferisce argomentare senza scomodare il concetto di energia cinetica relativa.

Ora riguardandolo farei così ...

Mi sembra di capire che, dopo aver determinato la velocità del centro di massa conservando la quantità di moto lungo la direzione orizzontale, tu voglia determinare l'altezza massima conservando l'energia meccanica rispetto al sistema di riferimento solidale al centro di massa. Tuttavia, mentre l'energia meccanica finale è certamente $mgh$, quella iniziale non è $1/2(M+m)V^2$. Proprio in questo caso devi esprimere l'energia cinetica relativa:

$1/2m(v_0-m/(M+m)v_0)^2+1/2M(-m/(M+m)v_0)^2=$

$=1/2(M^2m)/(M+m)^2v_0^2+1/2(Mm^2)/(M+m)^2v_0^2=$

$=1/2(Mm)/(M+m)v_0^2$

uguale a:

$1/2mv_0^2-1/2(M+m)V^2=$

$=1/2mv_0^2-1/2(M+m)m^2/(M+m)^2v_0^2=$

$=1/2mv_0^2-1/2m^2/(M+m)v_0^2=$

$=1/2mv_0^2(1-m/(M+m))=$

$=1/2(Mm)/(M+m)v_0^2$

In definitiva, le seguenti equazioni sono equivalenti:

1. $1/2mv_0^2=1/2(M+m)V^2+mgh$

2. $1/2(Mm)/(M+m)v_0^2=mgh$