Derivata funzione composta in più variabili

[Matemagica11]

Ciao! Non mi è chiaro questo passaggio di una dimostrazione che sto studiando, qualcuno può aiutarmi??
Siano $g:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^q$ e $f:\mathbb{R}^q\rightarrow\mathbb{R}^p$ due funzioni derivabili infinite volte

Dato che le derivate dipendono solo dalle proprietà locali della funzione, per calcolare $D^\mathbf{n}(f\circ g)$ possiamo assumere che $f$ si annulli fuori da un intorno di $g(x)$ e si può scrivere:
\begin{equation}\label{fg} f(g(x))=\frac{1}{(2\pi)^q}\int_{\mathbb{R}^q} e^{-i g(x)\cdot\alpha}\hat{f}(\alpha) d\alpha \end{equation}
dove $\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_q)$ e $\hat{f}(\alpha)=\int f(y)e^{i\alpha\cdot y} dy$ è la trasformata di Fourier di $f$ (le operazioni su $f=(f_1,...,f_p)$ sono fatte componente per componente). Dalla formula \eqref{fg} segue che per trovare $D^\mathbf{n}(f\circ g)(x)$ è sufficiente calcolare $D^\mathbf{n}(e_\alpha \circ g)(x)$ dove $e_\alpha(y)=e^{i\alpha\cdot y}$

Grazie mille!

[dissonance]

Cosa non ti è chiaro? Poni \(y=g(x)\) e ricordati della formula di inversione della trasformata di Fourier.

[Matemagica11]

Cosa non ti è chiaro? Poni \(y=g(x)\) e ricordati della formula di inversione della trasformata di Fourier.

Non capisco perché si possa derivare dentro l'integrale, non dovrebbero esserci altre condizioni?

[dissonance]

Certo, ma in genere questi conti si fanno in maniera formale, assumendo che tutti gli integrali abbiano senso e che si possa derivare sotto il segno di integrale, cosa che di solito non pone nessun problema se le funzioni coinvolte sono di classe C infinito e à supporto compatto. Poi tocca passare al limite, magari in qualche senso debole, come nel senso delle distribuzioni

[Matemagica11]

Ho capito, grazie mille!