Massimi e minimi in due variabili

[Freebulls]

Buonasera, sto cercando di risolvere il seguente esercizio:



Per il punto a) si vede facilmente che in $A$ si ha $x^2<=1,y^2<=1$ e perciò $0<=u(x,y)<=1$. Ora, dato che $u(0,0)=1$ e $u(+-1,+-1)=0$, è chiaro che il massimo di $u$ su $A-D$ è $1$ e il minimo è $0$

Per il punto b) basta osservare che $U_n:=uuu_{k=1}^{n} B_k$ è un aperto in quanto unione di aperti e di conseguenza $\mathbb(R)^2-U_n$ è un chiuso. Quindi $D_n=A-U_n=A\cap(\mathbb(R)^2-U_n)$ è un chiuso in quanto intersezione di chiusi e perciò compatto (chiuso in un compatto è compatto inoltre è evidentemente limitato perché contenuto in $A$). Perciò per il Teorema di Weierstrass $v$ ammette massimo e minimo su $D_n$

Per il punto c) non so come procedere...

Penso/Spero che i primi due punti siano corretti... Probabilmente nel punto a) il prof voleva che noi studiassimo bene ogni caso ma penso che così sia comunque una soluzione sufficientemente motivata

[Bossmer]

Si sono corretti, secondo me nel primo voleva trarre in inganno gli studenti, che avrebbero distrattamente potuto pensare che $(0,0)$ non appartenga ad $A-D$... forse, poi va a capire cosa passa nella mente delle persone.

Comunque, per l'ultimo ti basta notare che $D_{n+1}\subseteq D_n$ e come hai già mostrato, essi sono anche compatti, allora vale un teorema che afferma che $\bigcap_{n=1}^{+\infty} D_n \ne \emptyset$. A questo punto poiché $D_{n+1}\subseteq D_n$ allora $D=\lim_{n\to \infty} D_n =\bigcap_{n=1}^{+\infty} D_n \ne \emptyset$ , inoltre $D$ è chiaramente compatto, perché è limitato ( in quanto sottoinsieme di insiemi compatti) ed è chiuso in quanto intersezione numerabile di chiusi(compatti); quindi vale ancora una volta il teorema di Weistrass e la funzione continua $v$ ammette massimo sull'insieme limite, perché esso è compatto e non vuoto, ciò equivale a dire che la successione $\max_{D_n} v$ converge

[Freebulls]

Mi sembra di non aver trattato questo teorema nei vari corsi però va bene.

Grazie mille

[Bossmer]

è un teorema piuttosto importante, e lo trovi su qualunque libro che parli delle proprietà degli insiemi compatti, in particolare lo trovi nel libro "Analisi Matematica" di Paolo Maurizio Soardi p.70