Topologia generale: omeomorfismi

[vincj]

Salve, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Si consideri su R^2 la topologia euclidea e sia X = {(x,y)| y>x}
si dica se
(1) X è omeomorfo a R^2
(2) La chiusura di X è omeomorfa a Y= {(x,y)| |y|>=|x|}

Per quanto riguarda il punto (2) ho osservato che la chiusura di X meno un punto è ancora connesso mentre Y privato del punto (0,0) è unione di due aperti non vuoti disgiunti quindi non è connesso. Dunque ragionando per assurdo si deduce che la chiusura di X non è omeomorfa a Y.

Ho dei dubbi nell' affrontare il punto (1). Le invarianti topologiche(connessione,compattezza) sono preservate perchè entrambi sono connessi e non compatti e intuitivamente sono convinto che X e R^2 siano omeomorfi. Quindi ho provato a costruire un omeomorfismo ma non riesco a trovare una funzione da R^2 a X per poi verificare che sia continua biiettiva e che abbia inversa continua. Qualcuno avrebbe dei suggerimenti su come procedere ?

[killing_buddha]

Per (2): chiaramente \(X\) non è denso in \(Y\) (non lo contiene nemmeno), quindi non può esserne la chiusura.
Per (1): dovrebbe essere possibile trovare un omeomorfismo esplicitamente: \(X\) è chiaramente omeomorfo a un semipiano mediante una rotazione, e questo semipiano è omeomorfo a tutto \(\mathbb R^2\) (ti basta trovare un omeomorfismo tra \(\mathbb R^2\) e \(]0,+\infty[\).

[Martino]

Vincj, sul 2 sono d'accordo con te, non però con killing_buddha (dice "omeomorfo", non uguale). Sull'1 seguirei il suo consiglio.

[killing_buddha]

dice "omeomorfo"

Ah, giusto. Allora un altro motivo per cui non sono omeomorfi è che un omeomorfismo tra le chiusure di due spazi dovrebbe determinare un omeomorfismo tra gli spazi (una funzione continua tra spazi T2 è determinata su un denso); questo è assurdo.
Equivalentemente, un omeomorfismo tra $\overline X$ e $Y$ induce un omeomorfismo tra l'interno di $\overline X$, che è $X$, e l'interno di $Y$. Ma $X$ è connesso, l'interno di $Y$ no.

[vincj]

Killing, seguendo il tuo consiglio, ho costruito una rotazione di un angolo orario di 45 gradi che ruota la bisettrice y=x mandandola in y=0, ottenendo così una isometria da X a Rx(0 ∞), che è un omeomorfismo. Poi ho definto la funzione g(x,y)=(x,exp(y)) da R^2 a Rx(0 ∞) che risulta essere un omeomorfismo. Quindi per composizione X è omeomorfo a R^2. Giusto?