Zeri delle derivate seconde

[JollyT]

Buongiorno a tutti...

Non comprendo il perché della risposta al quesito:

data f(x) una funzione reale a variabili reali, derivabile due volte su R, con f(-20)=0, f(10)=0, f(25)=0, risulta vero che:

risposta corretta: esiste almeno uno 0 della derivata seconda di f.

Potreste aiutarmi a capire perché? Grazie in anticipo

[gugo82]

Teorema di Rolle?

[JollyT]

Ok, ma dal momento che va dimostrata l'esistenza di uno zero almeno della derivata seconda e non prima, dovrei applicarlo tre volte?

Per spiegarmi meglio: lo applico due volte alla funzione base, usando come coppie di valori di x con immagine identica prima, per esempio, -20 e 10, e successivamente -20 e 25, dimostrando così l'esistenza di due zeri della funzione derivata prima... dopodiché lo applico un'ultima volta proprio alla derivata prima, usando i valori di x (impliciti) corrispondenti a quelli dei due zeri trovati, dimostrando così l'esistenza di almeno uno zero della funzione derivata della derivata prima, ovvero della funzione derivata seconda. Corretto?

Grazie mille intanto!

[otta96]

Se lo applichi come hai fatto te, non sai se i punti che ottieni sono diversi, ma l'idea è giusta, va solo applicata un pochino meglio, ovvero applichi Rolle prima tra $-20$ e $10$ poi tra $10$ e $25$ è poi alla derivata sui due nuovi punti che hai ottenuto.

[JollyT]

Ok, in modo che sia applicato su due intervalli diversi e che uno non includa l'altro.. capito, grazie ancora a entrambi!!

[gugo82]

Ad ogni modo, tieni presente che questo è un risultato che si può generalizzare in maniera semplice a derivate d'ordine maggiore.
In generale, se hai una funzione derivabile $N$ volte in un intervallo e che ha $N+1$ zeri distinti in tale insieme, allora le sue derivate prima, seconda, terza, ..., $N$-esima si annullano rispettivamente in $N$, $N-1$, $N-2$ ..., $1$ punti distinti.

Risultati di questo tipo si chiamano, in gergo, teoremi di separazione degli zeri perché mostrano che gli zeri di una funzione sono intercalati agli zeri della sua derivata.