esercizio integrale

[matteo_g]

Ciao, ho il seguente integrale:

$ int(dl)/((r^2)+(l^2))^(3/2 $ con r una costante.

Non trovo uno spunto per cominciare, mi date qualche consiglio su come procedere?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao matteo_g,

Mi pare che l'integrale sia già stato proposto, comunque si ha:

$ int(dl)/(r^2+ l^2)^(3/2) = frac{l}{r^2 sqrt{l^2 + r^2}} + c $

Per cominciare porrei $ l := r tan t \implies dl = \frac{rdt}{cos^2 t} $

[matteo_g]

Grazie per la risposta, puoi dirmi come fai a capire che devi partire da quella sostituzione ?
Non riesco a capire "il ragionamento"..
Grazie

[pilloeffe]

puoi dirmi come fai a capire che devi partire da quella sostituzione ?

Certamente... L'idea è che al denominatore debba comparire qualcosa che trasformi quella somma in un unico oggetto che possa essere facilmente elevato alla $3/2 $ e $1 + tan^2 x = 1 + frac{sin^2 x}{cos^2 x} = 1/cos^2 x $ è un ottimo candidato... Con seno e coseno non funziona altrettanto bene, mentre si potrebbe fare uso anche della cotangente, cioè porre $ l := r \text{cotan}(t) $, ma perché andare a complicarsi la vita...

[matteo_g]

ok, ti ringrazio, ora mi è più chiaro.

Vorrei farti vedere come lo avevo svolto io, senza ottenere il giusto risultato (premetto che sono un pò arrugginito con gli integrali) perchè ci tengo a capire dove sto sbagliando per non sbagliare di nuovo.

$ int(dl)/((r^2)+(l^2))^(3/2) $

raccolgo $ (r^2) $ al denominatore e lo porto fuori dall'integrale

$ 1/r^3*int(dl)/(1+((l^2)/(r^2)))^(3/2 $

ora provo a sostituire :

$ x=(l^2)/(r^2) $

e moltiplico sopra e sotto per dx ottenendo:

$ 1/r^3*int(1)/(1+((l^2)/(r^2)))^(3/2)*dl*dx/dx $

posso ricavare dl/dx derivando ed ottenendo:

$ (dl)/(dx)=(r^2)/(2*l $

che vado poi a sostituire nell'integrale ottenendo:

$ 1/(r^3)*int(r^2)/(2l*(1+x)^(3/2))*dx $

ora io avevo pensato, e forse un errore è proprio qui, di portare fuori l dato che sto integrando in dx ed ottenere:

$ (r^2)/(2*l*r^3)*int1/((1+x)^(3/2))*dx $

ed ora sarebbe semplice da risolvere.

Aspetto una tua illuminazione, grazie

[matteo_g]

fatemi sapere se riuscite a capire l'errore !!

[pilloeffe]

matteo_g, non è questione di riuscire a capire dov'è l'errore, anche perché fondamentalmente si tratta di quello di cui ti sei accorto tu stesso...

ora provo a sostituire :

$ x=l^2/r^2 $

Questo è lecito, ma poi come fai a trovare $l $ e $dl $ ? Supponendo anche che sia tutto positivo, avresti $ l = r sqrt{x} \implies dl = \frac{r}{2\sqrt{x}} dx \implies dx = 2/r \sqrt{x} dl = \frac{2l}{r^2} dl \implies \frac{dl}{dx} = r^2/(2l) $

Essendo $l = l(x) = r sqrt{x} $, non puoi portare $l $ fuori dall'integrale: non è una costante, dipende da $x$
Concludendo, procedere come hai fatto non porta alcun vantaggio al fine della risoluzione dell'integrale proposto.
Eccolo qua, mi ricordavo di averlo già visto...

[matteo_g]

Perfetto, era proprio l'errore che temevo. Grazie mille!