Integrale in coordinate polari traslate

[smirne]

Buongiorno ragazzi, vorrei chiedervi un aiuto per scovare il mio erore

Ho provato a risolvere questo integrale su D
$( x − √2)^2 + ( y − √ 2)^2 ≤ 4 , x ≥ 0$

$\int_D ( x − y ) sqrt(x^2+y^2) dxdy$

Ho provato in tutti modi, a usare le polari traslate nel centro ma viene fuori qualcosa di molto complesso, a usare le polari centrate in O degli assi,a scrivere poi l'equazione di una semicirconvefernza così facendo poi la derivata trovare la tangente in o e capire di quanto far variare theta, ma anche lì non ha portato nessun risultato.

L'unico suggerimento del testo è: risolvere in polari

[Bossmer]

Infatti devi risolverlo in polari, alla fine sono un po' di conti brutti che con pazienza si fanno.

Con le polari centrate in zero ottieni infatti che l'insieme d'integrazione diventa $\Omega=\{-\pi/2 \le\theta \le \pi/2 , 0\le \rho \le 2\sqrt{2} \sin2\theta\}$ e l'integrale diventa $\int_\Omega \rho^3(\cos \theta - \sin\theta}d\rho d\theta$ , integrando per forza prima rispetto a $\rho$ arrivi all'integrale $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 (\cos\theta-\sin\theta)\sin^4\theta d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 \cos\theta\sin^4\theta d\theta-\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2^4 \sin^5\theta d\theta$ essendo il seno una funzione dispari , allora è dispari anche ogni sua potenza dispari, ed essendo l'integrale simmetrico rispetto all'origine, hai che il secondo integrale vale zero. Ti resta da risolvere il primo integrale, ma basta ricordare che $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ e otterrai che l'integrale diventa la somma di 3 integrali di potenze del coseno, che con calma ti risolvi, o vai a guardare sulle tabelle, inoltre il coseno è pari quindi volendo puoi fare solo l'integrale fra zero e pi greco mezzi e moltiplicare per due l'integrale. Spero di esserti stato utile

[smirne]

Però non capisco perché nella soluzione, che in realtà non è ben spiegata sul testo di esame ma c'è solo scritto l'integrale finale metta come intervallo dell'angolo -pi/4 a pi/2.
Nel senso, mi è tornato tutto su rho, ma sul theta proprio non capisco, per questo ho provato a trovare la funzione della semicirconferenza e fare la derivata nell'origine così da avere la pendenza della retta tangente ma nulla, non mi esce quen dannato -pi/4

[gugo82]

Fai un disegno di $D$.

[smirne]

Fai un disegno di $D$.

La cosa grave?
E' che l'ho fatto
Tuttavia quel -pi/4 non lo capisco,è una circonferenza traslata passante per O

[gugo82]

Non solo passa per l'origine, ma ha come tangente in quel punto la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

[smirne]

Sì certo, quello sì, ma non ho capito come mostrarlo formalmente.
Era quello il succo della domanda in realtà

Buon sabato

[gugo82]

Il centro è sulla bisettrice del primo quadrante è la tangente è ortogonale al raggio.
È geometria elementare.