Singolarità essenziale

[Domeniko98]

Una particolare serie di potenze in cui possono comparire anche termini non positivi della variabile della funzione

[gugo82]

Vabbé, quasi.

Detta per bene:

Si chiama serie di Laurent centrata in $z_0 in CC$ una serie bilatera di funzioni del tipo:
\[
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n\ (z-z_0)^n
\]
avente coefficienti $c_n in CC$ per ogni $n in ZZ$, i.e. una serie in cui compaiono (possibilmente) potenze di $z-z_0$ sia con esponente naturale sia con esponente intero negativo.

Si dimostra che se una serie di Laurent converge in qualche punto, allora essa converge in una corona circolare di centro $z_0$, i.e. in un insieme del tipo $r<|z-z_0|<R$ con $0 <= r < R <= +oo$.¹ Eventualmente, ma non sempre, c'è convergenza pure nei punti del bordo della corona.

Detto ciò, altra domanda: perchè le serie che hai proposto in questo tuo post precedente non sono serie di Laurent?

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Note

1. Questo teorema è del tutto analogo a quello sulla convergenza delle serie di potenze (e si dimostra utilizzando tale teorema). ↑

[Domeniko98]

Perchè devo sviluppare ogni variabile (mentre io ho lasciato delle variabili come $z^2$ o $z^(2n)$) nei loro punti di singolarità?

[gugo82]

Perchè devo sviluppare ogni variabile (mentre io ho lasciato delle variabili come $z^2$ o $z^(2n)$) nei loro punti di singolarità?

Che vuol dire "sviluppare ogni variabile nei loro punti di singolarità"? Definisci...

Detto in altri termini, perchè devi inventarti locuzioni che non hanno alcun significato per dire una cosa semplice (cioè che "nelle serie scritte più sopra ci sono dei termini che non sono del tipo $(z-1)^n$")?

[Domeniko98]

Detto in altri termini, perchè devi inventarti locuzioni che non hanno alcun significato per dire una cosa semplice (cioè che "nelle serie scritte più sopra ci sono dei termini che non sono del tipo $(z-1)^n$")?

Intendevo proprio questo . Quindi per farla breve, devo fare in modo che in ogni serie (in questo caso) ci siano solo termini $(z-1)^n$ e non per esempio termini $z^(2n), z^(n)$, mentre se è di centro $0$ devono comparire solo termini $z^(n)$?

[gugo82]

[...] devo fare in modo che in ogni serie (in questo caso) ci siano solo termini $(z-1)^n$ e non per esempio termini $z^(2n), z^(n)$, mentre se è di centro $0$ devono comparire solo termini $z^(n)$?

E secondo te?

[Domeniko98]

Faccio un ultimo tentativo.

Per $z_0 = 1$ sviluppo così :

$sen(1/(z-1)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$

Ho che $z^2 = (z-1)^2 + 2(z-1) +2$

$z^2sen (1/(z-1)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n-1) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 2/(z-1)^(2n) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 2/(z-1)^(2n+1)$

Mentre $sen(1/z) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/(z-1)^(2n+1)$

$1/(z-1)sen(1/(z)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+2))$

Ho che $z= z-1+1$
$z/(z-1)sen(1/(z)) = sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+1)) + sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/((2n+1)!) 1/((z-1)^(2n+2))$

Giusto?

[gugo82]

C'è sicuramente un errore di calcolo nello scrivere $z^2$ come somma di potenze di $z-1$.

Inoltre, e più grave, c'è uno sviluppo di $sin(1/z)$ in serie di Laurent di centro $1$ che non sta né in cielo né in terra... Perché?

[Domeniko98]

C'è sicuramente un errore di calcolo nello scrivere $z^2$ come somma di potenze di $z-1$.

Si hai ragione, è così :
$z^2 = (z-1)^2 +2(z-1) +1$

Inoltre, e più grave, c'è uno sviluppo di $sin(1/z)$ in serie di Laurent di centro $1$ che non sta né in cielo né in terra... Perché?

Ho completamente toppato, ma l'ho rivisto e lo sviluppo è $sen(1) - zcos(1) ...$ vero?

[gugo82]

No.