Dubbio sul momento delle forze

[Sabb]

Altro dubbio sulle molle e carrucole:



Ho questo sistema, la carrucola ha massa $M$, le molle hanno la stessa costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla, le corde (inestendibili e di massa trascurabile) attaccate alle carrucole hanno la stessa lunghezza $l=d/2$ e sono fissate al punto $A$.
All'inizio non è presente la massa $m$ e alla posizione di equilibrio $A$ forma un angolo di $\pi/4$ con l'orizzontale, viene poi posta la massa $m$, attaccata ad una fune inestendibile e di massa trascurabile avvolta attorno alla carrucola.
Devo trovare l'angolo che $A$ forma con l'orizzontale nella nuova posizione di equilibrio.

Dopo aver messo la massa $m$ il punto $A$ ruoterà in senso antiorario di un angolo $\Delta\theta = \theta - \pi/4$, dove $\theta$ è l'angolo nella nuova posizione di equilibrio, a seguito di questo spostamento la molla 1 (orizzontale) si contrae di $R\Delta\theta$, mentre la molla 2 (verticale) si allunga di $R\Delta\theta$, le forze elastiche applicate nella nuova posizione di equilibrio sono quindi:
$F_1=-k(\Deltax-R\Delta\theta)$ e $F_2=-k(\Deltax+R\Delta\theta)$
Il dubbio che ho è sul calcolo del momento totale della carrucola, in particolare: le tensioni esercitate dalle corde sulla carrucola sono tangenti al bordo della carrucola anche se le corde sono attaccate ad un punto della carrucola stessa?
Di solito si considerano corde che "avvolgono" la carrucola, anche se mi verrebbe da pensare che le forze sono comunque tangenti non sono del tutto convinto.. O magari mi sbaglio proprio..
Se ognuna delle due tensioni è tangente al bordo della carrucola allora è ortogonale al vettore che congiunge il polo (che prendo nel centro della carrucola) con il punto di applicazione della forza, quindi la seconda equazione cardinale è $T_2+mg=T_1$ e, da $T_1=F_1$ e $T_2=F_2$, posso ricavarmi $\theta$.

Direi di si, ma non sono sicuro.. Se qualcuno potesse chiarirmi le idee mi aiuterebbe non poco.

[mgrau]

Direi che c'è qualcosa che non va nelle tue espressioni di $F_1$ e $F_2$, perchè così come sono sembra che i contributi delle molle si elidano, mentre al contrario si SOMMANO (se non ho capito male le tue intenzioni). Una si contrae, e spinge, l'altra si allunga e tira, ma sono su due lati opposti.
E tutto il discorso sulle forze tangenti, non ci sono problemi, la corda attaccala dove vuoi, ma la forza la puoi comunque considerare applicata nel punto in cui la corda si stacca dalla puleggia.

[Sabb]

la forza la puoi comunque considerare applicata nel punto in cui la corda si stacca dalla puleggia.

Ok grazie, il mio dubbio era proprio questo.

Direi che c'è qualcosa che non va nelle tue espressioni di $ F_1 $ e $ F_2 $, perchè così come sono sembra che i contributi delle molle si elidano, mentre al contrario si SOMMANO (se non ho capito male le tue intenzioni). Una si contrae, e spinge, l'altra si allunga e tira, ma sono su due lati opposti.

Ho pensato che senza la massa il momento totale è $T_1-T_2=0$, quindi le due forze elastiche sono uguali e sono entrambe uguali a $-k\Deltax$, dove $\Deltax=d/2+\pi/4R$. Con la massa la carrucola ruota di $\Delta\theta$ in senso antiorario, l'elongazione della molla 1 è minore rispetto a prima, perché una quantità $R\Delta\theta$ di fune è ruotata verso la molla 1, quindi la forza esercitata da questa è $-k(\Deltax-R\Delta\theta)$. Questa quantità viene "sottratta" dalla corda 2, per cui l'elongazione della molla 2 è maggiore di prima e la forza esercitata è $-k(\Deltax+R\Delta\theta)$.
I contributi $k\Deltax$ mi si cancellano, mentre quelli dati dalla variazione dell'angolo no, il momento totale esercitato dalle forze elastiche è $2kR^2\Delta\theta$, a questo aggiungo il momento della forza peso (positivo perché fa ruotare in senso antiorario), pongo il momento totale uguale a zero e ricavo la variazione dell'angolo da $\pi/4$ alla nuova posizione di equilibrio. Non va bene così?

Grazie dell'aiuto!

[mgrau]

Ho pensato che senza la massa il momento totale è $T_1-T_2=0$, quindi le due forze elastiche sono uguali e sono entrambe uguali a $-k\Deltax$, dove $\Deltax=d/2+\pi/4R$. Con la massa la carrucola ruota di $\Delta\theta$ in senso antiorario, l'elongazione della molla 1 è minore rispetto a prima, perché una quantità $R\Delta\theta$ di fune è ruotata verso la molla 1, quindi la forza esercitata da questa è $-k(\Deltax-R\Delta\theta)$. Questa quantità viene "sottratta" dalla corda 2, per cui l'elongazione della molla 2 è maggiore di prima e la forza esercitata è $-k(\Deltax+R\Delta\theta)$.
I contributi $k\Deltax$ mi si cancellano, mentre quelli dati dalla variazione dell'angolo no, il momento totale esercitato dalle forze elastiche è $2kR^2\Delta\theta$, a questo aggiungo il momento della forza peso (positivo perché fa ruotare in senso antiorario), pongo il momento totale uguale a zero e ricavo la variazione dell'angolo da $\pi/4$ alla nuova posizione di equilibrio. Non va bene così?

Va bene. Avevo capito male io.

[Sabb]

Perfetto grazie!