Problema sostegno e lunghezza di una gamma(t)

Messaggioda Leira » 12/07/2018, 18:32

Salve, di nuovo... Ho questo problema
sia $ gamma (t) : [0,1] rarr R^2 gamma (t) = ( cos( pi / 2 (1+t)) , ( sin ( pi / 2 (1+t)) $.
Disegna il sostegno, calcola la lunghezza della curva e stabilisci se è chiusa o aperta.
Il professore ci ha fatto solo un esempio su come disegnare il sostegno e ci ha detto di calcolare i punti e tracciare la retta ( non ho la minima idea di come funzioni quando compaiono seni e coseni, quindi ho provato a seguire l'insegnamento iniziale del prof) quindi mi sono calcolata $ gamma ( 0 ) = (0,1) $ e $ gamma (1) = (-1,0) $. quindi mi sono segnata i punti su un normale piano cartesiano e ho tirato una linea.
Per quanto riguarda la chiusura, ho visto che $ gamma (0) != gamma (1) $, quindi è aperta.
Ora, per calcolare la lunghezza, mi sono fatta prima le derivate $ gamma (t) ' = (( -sin( pi /2 + pi /2 t )( pi /2 )) , (cos ( pi /2 + pi /2 t )( pi /2 )) $
Ora dovrei farmi la norma, di tutto questo e poi l'integrale fra 0 e 1. Il procedimento è questo? perché non so se sono in grado di fare questa norma, magari dovrei ripassare qualche formula trigonometrica. A meno che non ci sia qualche regola " veloce" che mi sfugge ( o che il prof non mi ha detto)? nel caso provo a fare il conto e vediamo cosa ne esce. Anche se non sono sicura sia questa la strada e non mi convince nemmeno la storia del sostegno. Se qualcuno potesse offrirmi delle delucidazioni ve ne sarei davvero grata! Grazie ancora e buona cena:D
Leira
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Re: Problema sostegno e lunghezza di una gamma(t)

Messaggioda TeM » 12/07/2018, 20:23

Dunque, data la curva \(\mathbf{r} : [0,\,1] \to \mathbb{R}^2\) di legge \[ \mathbf{r}(t) := \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right), \; \sin\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right)\right), \] dato che \[ \mathbf{r}(0) = (0,\,1) \ne \mathbf{r}(1) = (-1,\,0) \] tale curva risulta essere aperta.

Assodato ciò, ponendo: \[ \begin{cases} x = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right) \\ y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right) \end{cases} \; \; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; \; \begin{cases} x^2 = \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right) \\ y^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right) \end{cases} \] e sommando le due equazioni membro a membro, si ottiene: \[ x^2 + y^2 = \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right) \] ossia: \[ x^2 + y^2 = 1\,.\] Alla luce di tutto ciò, il sostegno di \(\mathbf{r}\) risulta essere: \[ \gamma := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 = 1, \, - 1 \le x \le 0 \right\} \] il cui grafico risulta essere banalmente il seguente:

Immagine

Dulcis in fundo, per definizione, lunghezza di \(\gamma\) si calcola tramite il seguente integrale curvilineo (di prima specie):
\[
\begin{aligned}
\int_{\gamma} \text{d}s
& \equiv \int_0^1 \left|\mathbf{r}\,'(t)\right| \text{d}t \\
& = \int_0^1 \sqrt{\left(-\frac{\pi}{2}\,\sin\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right)\right)^2 + \left( \frac{\pi}{2}\,\cos\left(\frac{\pi}{2}\,(1 + t)\right) \right)^2}\,\text{d}t \\
& = \int_0^1 \frac{\pi}{2}\,\text{d}t \\
& = \frac{\pi}{2}\,,
\end{aligned}
\] come era possibile dedurre senza alcun conto, trattandosi di un quarto di circonferenza di raggio unitario. ;)
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Re: Problema sostegno e lunghezza di una gamma(t)

Messaggioda Leira » 12/07/2018, 22:08

ti ringrazio =)! in effetti mi sembrava strano, il sostegno fosse semplicemente una linea (purtroppo il mio professore non ci ha dato libri, così non ho molto materiale su cui studiare e cerco approfondimenti su internet) una domanda, al di là di seno e coseno che " a naso" penso siano sempre pezzi di circonferenza unitaria, come trovo il sostegno di una curva del tipo $ gamma (t) = (x+t,y+t)? $ Secondo il professore basta trovare due punti e tracciare una linea, visto che non mi fido molto di lui, chiedo qui. Grazie mille
Buona notte
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Re: Problema sostegno e lunghezza di una gamma(t)

Messaggioda TeM » 12/07/2018, 22:30

A titolo d'esempio, nel caso in cui sia assegnata la curva \(\mathbf{r} : [0,\,1] \to \mathbb{R}^2\) di legge \[ \mathbf{r}(t) := \left(2 + 3\,t, \; 4+5\,t\right), \] per determinare l'equazione cartesiana del proprio sostegno è sufficiente porre: \[ x = 2 + 3\,t\,, \; \; \; \; \; \; y = 4 + 5\,t \] ove dalla prima equazione si ottiene: \[ t = \frac{x - 2}{3} \] e sostituendo nella seconda equazione, si ottiene: \[ y = 4 + 5\,\frac{x - 2}{3}\,, \] ossia: \[ y = \frac{5}{3}\,x + \frac{2}{3} \,. \] In conclusione, in quest'altro caso, il sostegno di \(\mathbf{r}\) risulta essere: \[ \gamma := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : y = \frac{5}{3}\,x + \frac{2}{3}, \; 2 \le x \le 5 \right\}. \] Va da sé che, trattandosi di un segmento, per tracciarlo siano sufficienti gli estremi. ;)
TeM
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