Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Delirium » 11/06/2018, 00:05

Esercizio. Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua tale che il suo integrale improprio (nel senso di Riemann) \( \int_\mathbb{R} |f(x)| \, dx \) è convergente. Mostrare che la funzione \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[F(y) = \int_\mathbb{R} f(x) \cos (xy) \, dx \] è continua.

Nota. Considerando l'integrale nel senso di Lebesgue si potrebbero usare teorema della convergenza dominata e affini, ma sarebbe troppo facile. Vorrei vedere una soluzione che usi la convergenza uniforme, o addirittura semplicemente la definizione \( \epsilon - \delta \) (io credo di averlo risolto con quest'ultima).
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Bremen000 » 25/06/2018, 13:27

Non riuscendo (neanche lontanamente) a risolvere l'esercizio sull'isometria tra \( \ell^{\infty} \) e \( L(L^p([0,1])) \) ho optato per questo. Spero che sia corretto:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Siano \( \epsilon >0 \) e \( y_0 \in \mathbb{R} \) fissati.

Per ogni \( x \in \mathbb{R} \) la funzione \( y \mapsto f(x)\cos(xy) \) è continua. Dunque per ogni $R>0$ esiste un \( \delta = \delta(x,R,\epsilon) \) tale che

\[ |y-y_0|<\delta \Rightarrow |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|< \frac{\epsilon}{4R} \]


Per ogni $R>0$ esiste un \( x_R \in [-R, R ] \) tale che

\[ \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = 2R |f(x_R) \cos(x_R y)-f(x_R) \cos(x_R y_0)| \]


Dunque si ha che per ogni \( R>0 \) esiste un \( \delta = \delta(x_R, R, \epsilon) \) tale che

\[ |y-y_0|<\delta \Rightarrow \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 \]


Osservo che

\[ \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx \le 2 \int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx < \infty \]

Dunque

\[ \lim_{R \to \infty} \int_{|x|>R} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx =0 \]

Ovvero esiste un \( R_{\epsilon} >0 \) tale che

\[ \int_{|x|>R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 \]


Quindi per quanto detto sopra esiste un \( \delta = \delta( x_{R_{\epsilon}}, R_{\epsilon}, \epsilon) \)

\[ |y-y_0| < \delta \Rightarrow \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx = \int_{-R_{\epsilon}}^{R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx + \int_{|x|> R_{\epsilon}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon \]


Quindi in definitiva, per ogni \( y_0 \in \mathbb{R} \) si ha che

\[ \forall \epsilon >0 \quad \exists \, \delta = \delta_{\epsilon} >0 \, : \, |y-y_0|< \delta \Rightarrow \]
\[ \epsilon> \int_{\mathbb{R}} |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|dx \ge \Biggl | \int_{\mathbb{R}} f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)dx \Biggr | = \biggl |F(y)-F(y_0) \biggr | \]


Cioè per ogni \(y_0 \in \mathbb{R} \) si ha che

\[ \lim_{y \to y_0} F(y) = F(y_0) \]

Il che conclude la dimostrazione e mi fa pensare a quanto siamo fortunati ad avere avuto Lebesgue tra noi.
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Delirium » 11/07/2018, 22:32

E' giusto. Io avevo usato la periodicità del coseno, ma onestamente al momento non ricordo che costruzione ho fatto :smt105
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Bremen000 » 12/07/2018, 09:00

Bene! Grazie mille Delirium!
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Delirium » 12/07/2018, 14:48

Ho verificato e la mia idea non funziona. Solita storia del fatto che sono troppo pigro per scrivere i calcoli, passasse di qui dissonance mi prenderebbe a sassate...
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Bremen000 » 12/07/2018, 22:45

Conosco bene la filosofia di dissonance e gugo, l'hanno proprio ribadita in questi giorni nella stanza di analisi superiore! In ogni caso, la pigrizia nel fare i conti direi che comunque è una caratteristica che condividiamo :-D
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda gugo82 » 13/07/2018, 10:29

Scusa Bremen... Ma c’è qualcosa che non mi torna nelle dipendenze dei vari $delta$.
In particolare, quello che usi per maggiorare con $epsilon/(4R)$ non dovrebbe dipendere dalla variabile $x$, “a occhio”.
Serve un po’ di uniformità o sbaglio?
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Bremen000 » 13/07/2018, 11:05

Ciao gugo, non so se ho capito bene. Qua:

Per ogni \( x \in \mathbb{R} \) la funzione \( y \mapsto f(x)\cos(xy) \) è continua. Dunque per ogni $ R>0 $ esiste un \( \delta = \delta(x,R,\epsilon) \) tale che

\[ |y-y_0|<\delta \Rightarrow |f(x) \cos(xy)-f(x) \cos(xy_0)|< \frac{\epsilon}{4R} \]


Dico che \( \delta \), in generale, può dipendere da \( x \), \(R \) e \( \epsilon \). Tu dici che non dipende da \(x\)?
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda gugo82 » 13/07/2018, 11:07

Dico che se vuoi usare quell’implicazione per maggiorare un integrale, devi essere ragionevolmente sicuro che $delta$ non dipenda dalla variabile di integrazione $x$, “a occhio”.
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Re: Continuità di una funzione integrale

Messaggioda Bremen000 » 13/07/2018, 11:10

Ah!
Ma scusa se utilizzo il teorema della media integrale, e prendo come $x$ quella che realizza l'uguaglianza integrale-funzione valutata nel punto, \( \delta \) dipenderà da quell' \(x\) ma questo crea problemi?
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