Fisica, cinematica, moto vario

[WhiteWalker]

Grazie mille, scusa l'ultimo dubbio: nel moto armonico integrando mi risulta, x=(1-w^2t^2)^1/2. Ma da qui come ricavo la legge oraria del moto armonico? So che 1 può essere riscritto come sin^2+cos^2, ma mi sono incartato.

[Shackle]

Non sono mai stato bravo a calcolare integrali , quindi di solito faccio ricorso a tavole di integrali o ad integratori in rete . Comunque , analizzando la formula :

$(dx)/(dt) = omegasqrt(1-x^2)$

e tenuto conto che il testo suggerisce "moto armonico" , mi viene da dire che :

1) prima di tutto, il radicando deve essere $>=0$ , per cui : $-1<=x<=1$ . Questo mi fa pensare che $x$ possa essere una funzione trigonometrica elementare.

2) ponendo :

$x= sen(omegat)$ ( fase iniziale nulla, per semplicità )

ottengo : $ (dx)/(dt) = omega*cos(omegat) = omega sqrt (1-sen^2(omegat) )= omegasqrt(1-x^2) $

e questa è proprio l'eq differenziale data . Perciò la soluzione : $x= sen(omegat)$ , a meno di costanti , la soddisfa.

[dRic]

La soluzione di Shackle è ovviamente giusta, ma se vuoi un procedimento step-by-step più "meccanico" allora vai di separazione dell variabili (che non è altro che fare quello che ha fatto Shackle):

$$ \frac {dx} {\sqrt{1-x^2}} = \omega dt $$

ponendo $x = sin(y) $ si ottieni $dx = cos(y) dy$ e quindi:

$$ \frac {cos(y) dy} {cos(y)} = \omega dt$$

$$ \int dy = \omega \int dt $$

$$ y = \omega t + C $$

Sostituendo in $x = sin(y) = sin(\omega t + C) $

[Shackle]

Giusto chiarimento e completamento , dRic ! Non ho più tanta dimestichezza con queste cose.

[WhiteWalker]

Grazie mille a entrambi!