Ordine di un polo

[Dal]

Devo calcolare l'integrale della funzione $ f(z)=(1/(z^(1/3)))(1/(z^6 +a^2)) $ , ma non riesco a riconoscere l'ordine del polo in z=0, anzi, mi è venuto anche il dubbio che non sia un polo.
Se calcolo $ lim_(z -> 0)(z)(1/(z^(1/3)))(1/(z^6 +a^2)) =0 $, d'altra parte $ lim_(z -> 0)|| (1/(z^(1/3)))(1/(z^6 +a^2))|| = +∞ $
Potreste chiarirmi le idee a riguardo di queste potenze di $ z^(1/n) $ al denominatore?

[gugo82]

Non è un polo, proprio per la presenza di una funzione polidroma.

Qual è l’integrale da calcolare?

[Dal]

Sarebbe l'integrale della funzione che ho scritto sopra, ma di variabile reale x, da 0 a +∞, quindi sono passato alla variabile complessa... ho provato a fare un cambiamento di variabile $ y=x^(1/3) $, quindi $ int_(0)^(∞) 3y/(y^(6)+a^2) dx $ , poi ho moltiplicato la funzione per $ log(z) $, quindi
$ int_(gamma )^( ) zlog(z)/(z^6 +a^2) dz $
con $ gamma $ cammino circolare a forma di serratura ("keyhole path"). Ma in questo modo dovrei calcolare sei residui... vorrei trovare un metodo più semplice.

[gugo82]

Non credo ci sia, o comunque al momento non mi sovviene.
Ti devi sciroppare i conti, che sono facili perché hai poli del primo ordine.

Forse può essere d’aiuto il fatto che i poli sono a due a due coniugati, ma “a occhio” non ti so dire... Prova a fare i conti.